平稳过程

在数学中，平稳过程（英语：Stationary process），又稱严格平稳过程（英语：Strict(ly) stationary process）或強平穩過程（英语：Strong(ly) stationary process）是一種特殊的隨機過程，在其中任取一段期間或空間（$t=t_1-t_k$）裡的聯合機率分佈，與將這段期間任意平移後的新期間（$t=t_1+\tau-t_k+\tau$）之聯合機率分佈相等。这样，数学期望和方差这些参数也不随时间或位置变化。

例如，白噪声（AWGN）就是平稳过程，铙钹的敲击声是非平稳的。尽管铙钹的敲击声基本上是白噪声，但是这个噪声随着时间变化：在敲击前是安静的，在敲击后声音逐渐减弱。

在时间序列分析中稳态作为一个工具使用，在这里原始数据经常转换为平稳态，例如经济学数据经常随着季节或者价格水平变化。如果这些过程是平稳过程与一个或者多个呈现一定趋势的过程的线性组合，那么这些过程就可以表述为趋势平稳。将这些数据进行转换保留平稳数据用于分析的过程称为解趋势（de-trending）。

采样空间也是离散的离散时间平稳过程称为Bernoulli scheme，离散采样空间中每个随机变量可能取得 N'个可能值中的任意一个。当 N = 2 的时候，这个过程叫做伯努利过程。

广义平稳（弱平穩）

信号处理中常用的弱平稳也被称为广义平稳（Wide-sense stationary,WSS）或者协方差平稳。WSS 随机过程仅仅要求一阶和二阶矩不随时间变化。

这样，一个 WSS 的连续时间随机过程 x(t) 有下述数学期望函数

1. $\mathbb{E}\{x(t)\} = m_x(t) = m_x(t + \tau) \,\, \forall \, \tau \in \mathbb{R}$

与相关函数

2. $\mathbb{E}\{x(t_1)x(t_2)\} = R_x(t_1, t_2) = R_x(t_1 + \tau, t_2 + \tau) = R_x(t_1 - t_2, 0) \,\, \forall \, \tau \in \mathbb{R}.$

第一个属性表明数学期望函数 m_x(t) 必须是常数。第二个属性表明相关函数仅仅与 $t_1$ 和 $t_2$ 之间的差值相关，并且可以仅仅用一个变量而不是两个变量来表示。这样，

$\,\!R_x(t_1 - t_2, 0),$

通常可以简化为

$\,\!R_x(\tau)$，其中：$\,\!\tau = t_1 - t_2$。

当使用线性、时不变（线性时不变系统）滤波器处理广义平稳随机信号的时候，将相关函数作为线性算子是很有帮助的。由于它是轮换矩阵运算，只与两个变量之间的差值有关，所以它的特征函数是傅里叶级数复数指数函数。另外，由于线性时不变系统算子也是复指数函数，广义平稳随机信号的线性非时变处理非常易于操作——所有的运算都可以在频域进行。因此，广义平稳假设在信号处理算法中得到了广泛应用。

二阶平稳过程

二阶平稳过程是指在实际使用中，仅需一对变量（2个）在时序变化中保持平稳特性时所提出的。二阶平稳过程的定义可以推广至N阶平稳过程，所谓严格平稳过程(SSS)具体表现为全阶平稳。

当概率密度函数的一阶和二阶表达式对于所有可能的$t_1$, $t_2$ 和 $\Delta$ 满足以下条件时，被称为二阶平稳过程。

$f_X(x_1 : t_1 ) = f_X(x_1 : t_1 + \Delta), \,$

$f_X(x_1 ,x_2 : t_1, t_2 ) = f_X(x_1 ,x_2 : t_1 + \Delta, t_2 +\Delta ), \,$

当其均值（mean）和相关函数（correlation function）都是有限的时候，这样的过程可以称为广义平稳（WSS），同时，一个广义平稳不一定是二阶平稳。

参见

• 循环平稳过程