平行六面体

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平行六面体
平行六面体
平行六面体
類別 柱體
6
12
頂點 8
歐拉特徵數 F=6, E=12, V=8 (χ=2)
面的種類 平行四邊形×6
威佐夫符號英语Wythoff symbol 2 4 | 2
對稱群 Ci, [2+,2+], (×), order 2
對偶 雙六角錐
特性 , zonohedron

几何学中,平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体。它与平行四边形的关系,正如正方体正方形之间的关系;在欧几里得几何中这四个概念都允许,但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体。平行六面体的三个等价的定义为:

  • 六个面都是平行四边形的多面体
  • 有三对对面平行的六面体;
  • 底面为平行四边形的棱柱

长方体(六个面都是长方形)、正方体(六个面都是正方形),以及菱面体(六个面都是菱形)都是平行六面体的特殊情况。

平行六面体是拟柱体的一个子类。

性质[编辑]

平行六面体可由正方体线性变换而成。

用相同的平行六面体,可以镶嵌整个空间。

体积[编辑]

用向量来定义平行六面体。

平行六面体的体积是底面A与高h的乘积。这里的高是底面与对面的垂直距离。

另外一个方法是用向量a = (a1, a2, a3),b = (b1, b2, b3),以及c = (c1, c2, c3)来表示相交于一点的三条棱。于是,平行六面体的体积就等于三重积a · (b × c):

V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| = |\mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a})| = |\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})|

这是因为,如果我们选择bc来表示底面的边,则根据向量积的定义,底面的面积为:

A = |b| |c| sin θ = |b × c|,

其中θbc之间的角,而高为:

h = |a| cos α

其中αah之间的角。

从图中我们可以看到,α的大小限定为0° ≤ α < 90°。而向量b × ca之间的角β则有可能大于90°(0° ≤ β ≤ 180°)。也就是说,由于b × ch平行,β的值要么等于β = α,要么等于β = 180° − α。因此:

cos α = ±cos β = |cos β|,

h = |a| |cos β|。

我们得出结论:

V = Ah = |a| |b × c| |cos β|,

于是,根据数量积的定义,它等于a · (b × c)的绝对值,证毕。

最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值:

 V = \left| \det \begin{bmatrix}
        a_1 & a_2 & a_3 \\
        b_1 & b_2 & b_3 \\
        c_1 & c_2 & c_3
 \end{bmatrix} \right|

特殊情况[编辑]

如果平行六面体具有对称平面,则一定是以下两种情况之一:

  • 四个面是长方形;
  • 两个面是菱形,而在另外四个面中,两个相邻面相等,另外两个面也相等。

长方体是六个面都是长方形的平行六面体;正方体是六个面都是正方形的平行六面体。

菱面体是六个面都是菱形的平行六面体;三方偏方面体是所有菱形面都全等的菱面体。

超平行体[编辑]

平行六面体在高维空间的推广称为超平行体

特别地,n维空间中的超平行体称为n维超平行体。因此,平行四边形就是2维超平行体,平行六面体就是3维超平行体。

n维超平行体的所有对角线相交于一点,并被这个点所平分。

位于\mathbb{R}^m空间中的n维超平行体的n维体积(m \ge n),可以用格拉姆行列式的方法来计算。

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]