平行六面体

平行六面体
类型	棱柱
面	6个平行四边形
棱	12
顶点	8
对称群	Ci
性质	凸

在几何学中，平行六面体是由六个平行四边形所组成的三维立体。它与平行四边形的关系，正如正方体与正方形之间的关系；在欧几里得几何中这四个概念都允许，但在仿射几何中只允许平行四边形和平行六面体。平行六面体的三个等价的定义为：

• 六个面都是平行四边形的多面体；
• 有三对对面平行的六面体；
• 底面为平行四边形的棱柱。

长方体（六个面都是长方形）、正方体（六个面都是正方形），以及菱面体（六个面都是菱形）都是平行六面体的特殊情况。

平行六面体是拟柱体的一个子类。

性质

平行六面体可由正方体经线性变换而成。

用相同的平行六面体，可以镶嵌整个空间。

体积

用向量来定义平行六面体。

平行六面体的体积是底面A与高h的乘积。这里的高是底面与对面的垂直距离。

另外一个方法是用向量a = (a₁, a₂, a₃)，b = (b₁, b₂, b₃)，以及c = (c₁, c₂, c₃)来表示相交于一点的三条棱。于是，平行六面体的体积就等于三重积a · (b × c)：

$V = |\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})| = |\mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a})| = |\mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b})|$

这是因为，如果我们选择b和c来表示底面的边，则根据向量积的定义，底面的面积为：

A = |b| |c| sin θ = |b × c|，

其中θ是b与c之间的角，而高为：

h = |a| cos α，

其中α是a与h之间的角。

从图中我们可以看到，α的大小限定为0° ≤ α < 90°。而向量b × c与a之间的角β则有可能大于90°（0° ≤ β ≤ 180°）。也就是说，由于b × c与h平行，β的值要么等于β = α，要么等于β = 180° − α。因此：

cos α = ±cos β = |cos β|，

且

h = |a| |cos β|。

我们得出结论：

V = Ah = |a| |b × c| |cos β|，

于是，根据数量积的定义，它等于a · (b × c)的绝对值，证毕。

最后一个表达式也可以写成以下行列式的绝对值：

$V = \left| \det \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{bmatrix} \right|$。

特殊情况

如果平行六面体具有对称平面，则一定是以下两种情况之一：

• 四个面是长方形；
• 两个面是菱形，而在另外四个面中，两个相邻面相等，另外两个面也相等。

长方体是六个面都是长方形的平行六面体；正方体是六个面都是正方形的平行六面体。

菱面体是六个面都是菱形的平行六面体；三方偏方面体是所有菱形面都全等的菱面体。

超平行体

平行六面体在高维空间的推广称为超平行体。

特别地，n维空间中的超平行体称为n维超平行体。因此，平行四边形就是2维超平行体，平行六面体就是3维超平行体。

n维超平行体的所有对角线相交于一点，并被这个点所平分。

位于$\mathbb{R}^m$空间中的n维超平行体的n维体积（$m \ge n$），可以用格拉姆行列式的方法来计算。

参考文献

• Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3rd ed. New York: Dover, p. 122, 1973.

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因, 平行六面体 at MathWorld
• 埃里克·韦斯坦因, 超平行体 at MathWorld