平行軸定理

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假設z'-軸平行於質心軸,則剛體對於z'-軸的轉動慣量可以從鋼體對於質心軸的轉動慣量計算出來。
面積慣性矩的平行軸定理

平行軸定理(parallel axis theorem)能夠很簡易地,從剛體對於一支通過質心的直軸(質心軸)的轉動慣量,計算出剛體對平行於質心軸的另外一支直軸的轉動慣量。

I_{C}\,\! 代表剛體對於質心軸的轉動慣量、M\,\! 代表剛體的質量、d\,\! 代表另外一支直軸 z'-軸與質心軸的垂直距離。那麼,對於 z'-軸的轉動慣量是

I_{z'}=I_{C}+Md^2\,\!

平行軸定理、垂直軸定理伸展定則,這些工具都可以用來求得許多不同形狀的物體的轉動慣量。

平行軸定理也可以應用於面積二次矩(面積慣性矩):

I_z = I_x + Ad^2\,\!

這裏,I_z\,\! 是對於 z-軸的面積慣性矩、I_x\,\! 是對於平面質心軸的面積慣性矩、A\,\! 是面積、d\,\! 是 z-軸與質心軸的垂直距離。

雅各·史丹納 (Jakob Steiner) 而命名,史丹納定理所指的幾個理論,其中一個理論就是平行軸定理。

進階理論[编辑]

平行軸定理能夠很簡易的,從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量,轉換至另外一個平行的座標系統。

對於三維空間中任意一参考點 Q 與以此参考點為原點的直角座標系 Qxyz ,一個剛體的慣性張量 \mathbf{I}\,\!

\mathbf{I} = \begin{bmatrix}
I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \\
I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \\
I_{zx} & I_{zy} & I_{zz}\end{bmatrix}\,\!

這裏,對角元素 I_{xx}\,\!I_{yy}\,\!I_{zz}\,\! 分別為對於 x-軸、y-軸、z-軸的慣性矩。設定 (x,\ y,\ z)\,\! 為微小質量 dm\,\! 對於點 Q 的相對位置。則這些慣性矩,可以精簡地用方程式定義為

I_{xx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ y^2+z^2\ dm\,\!
I_{yy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ x^2+z^2\ dm\,\!
I_{zz}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int\ x^2+y^2\ dm\,\!

而非對角元素,稱為慣性積, 可以定義為

I_{xy}=I_{yx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xy\ dm\,\!
I_{xz}=I_{zx}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ xz\ dm\,\!
I_{yz}=I_{zy}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ - \int\ yz\ dm\,\!

假若已知剛體對於質心 G 的慣性張量 \mathbf{I}_G\,\! ,質心 G 的位置是 (\bar{x},\ \bar{y},\ \bar{z})\,\! ,則剛體對於原點 O 的慣性張量 \mathbf{I}\,\! ,依照平行軸定理,可以表述為

I_{xx}=I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2)\,\!
I_{yy}=I_{G,yy}+m(\bar{x}^2+\bar{z}^2)\,\!
I_{zz}=I_{G,zz}+m(\bar{x}^2+\bar{y}^2)\,\!
I_{xy}=I_{yx}=I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y}\,\!
I_{xz}=I_{zx}=I_{G,xz} - m\bar{x}\bar{z}\,\!
I_{yz}=I_{zy}=I_{G,yz} - m\bar{y}\bar{z}\,\!

證明:

慣性張量的平行軸定理

a) 參考右圖 ,讓 (x\,',\ y\,',\ z\,')\,\!(x,\ y,\ z)\,\! 分別為微小質量 dm\,\! 對質心 G 與原點 O 的相對位置:

y=y\,'+\bar{y}\,\!z=z\,'+\bar{z}\,\!

依照慣性張量的慣性矩定義方程式,

I_{G,xx}=\int\ y\,'\,^2+z\,'\,^2\ dm\,\!
I_{xx}=\int\ y^2+z^2\ dm\,\!

所以,

\begin{align}
I_{xx}&=\int\ (y\,'+\bar{y})^2+(z\,'+\bar{z})^2\ dm\\
&=I_{G,xx}+m(\bar{y}^2+\bar{z}^2)\ . \\
\end{align}\,\!

相似地,可以求得 I_{yy}\,\!I_{zz}\,\! 的方程式。

b) 依照慣性張量的慣性積定義方程式 ,

I_{G,xy}= - \int\ x\,'y\,'\ dm\,\!
I_{xy}= - \int\ xy\ dm\,\!

因為 x=x\,'+\bar{x}\,\!y=y\,'+\bar{y}\,\! ,所以

\begin{align}
I_{xy}&= - \int\ (x\,'+\bar{x})(y\,'+\bar{y})\ dm \\
&=I_{G,xy} - m\bar{x}\bar{y}\ . \\
\end{align}\,\!

相似地,可以求得對於點 O 的其他慣性積方程式。

實例[编辑]

實心長方體:a)座標系統的原點在質心。b)座標系統的原點在角落。

思考一個實心長方體對於質心 G 的慣性張量,

I_G =\begin{bmatrix}
  \frac{1}{12} m (w^2 + h^2) & 0 & 0 \\
  0 & \frac{1}{12} m (h^2 + d^2) & 0 \\ 
  0 & 0 & \frac{1}{12} m (w^2 + d^2)\end{bmatrix}\,\!

如圖右,質心 G 的位置是 \left(\frac{d}{2},\ \frac{w}{2},\ \frac{h}{2}\right)\,\! 。依照平行軸定理,實心長方體對於點 O 的慣性矩與慣性積分別為

I_{xx} =\frac{1}{12} m (w^2 + h^2) +m \left(\left(\frac{w}{2}\right)^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2\right)\,\!
I_{yy} =\frac{1}{12} m (h^2 + d^2) +m \left(\left(\frac{h}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\right)\,\!
I_{zz} =\frac{1}{12} m (w^2 + d^2) +m \left(\left(\frac{w}{2}\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2\right)\,\!
I_{xy}= - m\left(\frac{w}{2}\right)\left(\frac{d}{2}\right)= - \frac{mwd}{4} \,\!
I_{xz}= - m\left(\frac{h}{2}\right)\left(\frac{d}{2}\right)= - \frac{mhd}{4} \,\!
I_{yz}= - m\left(\frac{w}{2}\right)\left(\frac{h}{2}\right)= - \frac{mwh}{4} \,\!

因此,實心長方體對於點 O 的慣性張量是

I_G =\begin{bmatrix}
  \frac{1}{3} m (w^2 + h^2) & - \frac{1}{4}mwd & - \frac{1}{4}mhd  \\
  - \frac{1}{4}mwd & \frac{1}{3} m (h^2 + d^2) & - \frac{1}{4}mwh   \\ 
  - \frac{1}{4}mhd & - \frac{1}{4}mwh & \frac{1}{3} m (w^2 + d^2)\end{bmatrix}\,\!

參閱[编辑]

轉動慣量列表

參考文獻[编辑]

  • Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 0-07-230492-8

外部連結[编辑]