平面波

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一個平面波的波前行進於空間。

一個平面波的波前往上行進。

在三維空間裏，平面波是一種波動。平面波的波前（相位為常數的平面）是相互平行的無限寬廣的平面，其傳播的方向垂直於波前。

加以延伸，平面波這術語時常用來形容，在空間的一個局部區域裏，近似於平面波的波動。例如，一個局部區域波源，像發射無線電波的天線，所發射出的電磁波，在遠場區（英语：far-field region）可以近似為平面波。等價地說，對於在一個均勻介質內，波的傳播距離超長於波長的案例，在幾何光學的正確極限內，射線區域性地對應於近似平面波。

用數學來表達，給予波動方程式

$\nabla^2 f - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=0\,\!$ ；

其中，$f(\mathbf{x},t) \,\!$ 是描述波動的函數，$\nabla^2\,\!$ 是拉普拉斯算符，$v\,\!$ 是波動傳播的速度，$\mathbf{x}\,\!$ 是位置，$t\,\!$ 是時間。

描述平面波的函數 $\tilde{\psi}(\mathbf{x},t) \,\!$ 是波動方程式的一種解答：

$\nabla^2 \tilde{\psi} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \tilde{\psi}}{\partial t^2}=0\,\!$ 。

平面波 $\tilde{\psi}(\mathbf{x},t) \,\!$ 的形式為：

$\tilde{\psi}(\mathbf{x},t) = \tilde{A} e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)}\,\!$ ；

其中，$i\,\!$ 是虛數單位，$\mathbf{k}\,\!$ 是波向量，$\omega\,\!$ 是角頻率，$\tilde{A}\,\!$ 是複值的振幅純量。

取複函數的實部，則可以得到其物理意義。

$\operatorname{Re}\{\tilde{\psi}(\mathbf{x},t)\} = |\tilde{A}| \cos (\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t + \arg \tilde{A})\,\!$ 。

對於向量的波動方程式，像描述在彈性固體內的機械波或電磁波的波動方程式：

$\nabla^2 \mathbf{E} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}=0\,\!$ ，

$\nabla^2 \mathbf{B} - \frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}=0\,\!$ ；

其中，$\mathbf{E}\,\!$ 是電場，$\mathbf{B}\,\!$ 是磁場;

解答也很類似：

$\tilde{\boldsymbol{\psi}}(\mathbf{x},\ t)=\tilde{\mathbf{A}}e^{i(\mathbf{k}\cdot\mathbf{x} - \omega t)}\,\!$ ；

其中，$\tilde{\mathbf{A}}\,\!$ 是複值的振幅向量。

横波的振幅向量垂直於波向量，像傳播於均向性介質的電磁波。縱波的振幅向量平行於波向量，像傳播於氣體或液體的聲波。

傳播於某介質內，角頻率與波向量之間的關係，可以以函數 $\omega(\mathbf{k})\,\!$ 表達，稱為介質的色散關係。對於這介質，波的相速度是

$v_p=\omega/|\mathbf{k}|\,\!$ ，

群速度是

$v_g=\frac{\partial \omega}{\partial \mathbf{k}}\,\!$ 。

參考文獻

• J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (Wiley: New York, 1998 )。