并查集

并查集是一种树型的数据结构，用于处理一些不相交集合（Disjoint Sets）的合并及查询问题。常常在使用中以森林来表示。

主要操作

需要注意的是，一开始我们假设元素都是分别属于一个独立的集合里的。

合并两个不相交集合

操作很简单：先设置一个数组Father[x]，表示x的“父亲”的编号。 那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合最父亲的父亲（也就是最久远的祖先），将另外一个集合的最久远的祖先的父亲指向它。

Pascal代码：

function Union(x,y:integer):boolean;{其中GetFather是下面将讲到的操作}
 var fx,fy : integer;
  begin
     fx := getfather(x);
     fy := getfather(y);
     If fx=fy then exit(false)
                 else Union:= true;
    father[fx] := fy;{指向最祖先的祖先}
  end;

C语言代码表示形式:

void Union(int x,int y)
{
    fx = getfather(x);
    fy = getfather(y);
    if(fy!=fx)
       father[fx]=fy;
}

判断两个元素是否属于同一集合

仍然使用上面的数组。则本操作即可转换为寻找两个元素的最久远祖先是否相同。可以采用递归实现。

Pascal代码：

Function Same(x,y:integer):boolean;
begin
  if GetFather(x)=GetFather(y) then 
    exit(true) else
    exit(false);
end;

C代码：

bool same(int x,int y)
{
   return getfather(x)==getfather(y);
}
/*返回true 表示相同根结点，返回false不相同*/

并查集的优化

路径压缩

刚才我们说过，寻找祖先时采用递归，但是一旦元素一多起来，或退化成一条链，每次GetFather都将会使用O(n)的复杂度，这显然不是我们想要的。

对此，我们必须要进行路径压缩，即我们找到最久远的祖先时“顺便”把它的子孙直接连接到它上面。这就是路径压缩了。使用路径压缩的代码如下，时间复杂度基本可以认为是常数的。

Function getfather(v:integer):integer;
  begin
    if (father[v]=0) then
      getfather:=v
    else
      begin
        father[v]:=getfather(father[v]);{路径压缩}
        getfather:=father[v];
      end;
  end;

Procedure Initialize;
var
  i:integer;
begin
  for i:=1 to maxv do 
    Father[i]:=i;
end;
 
Function GetFather(v:integer):integer;
begin
  if Father[v]=v then 
    exit(v) else
    Father[v]:=getfather(father[v]);{路径压缩}
  exit(Father[v]);
end;

Rank合并

合并时将元素所在深度低的集合合并到元素所在深度高的集合。

function judge(x,y:integer):boolean;
 var fx,fy : integer;
  begin
     fx := getfather(x);
     fy := getfather(y);
     If fx=fy then 
       exit(true) else 
       judge := false;
     if rank[fx]>rank[fy] then
       father[fy] := fx else begin
       father[fx] := fy;
       if rank[fx]=rank[fy] then 
         inc(rank[fy]);
     end;
  end;

初始化：

fillchar(rank,sizeof(rank),0);

C语言代码： 合并时将元素所在深度低的集合合并到元素所在深度深的集合。

void judge(int x ,int y)
 
{
     fx = getfather(x);
     fy = getfather(y);
 
     if (rank[fx]>rank[fy])
        father[fy] = fx;
     else
     {
        father[fx] = fy;
        if(rank[fx]==rank[fy])
           inc(rank[fy]);
     }
}

初始化：

memset(rank,0,sizeof(rank));

时间复杂度

O(n*α(n))

其中α(x)，对于x=宇宙中原子数之和，α(x)不大于4

事实上，路经压缩后的并查集的复杂度是一个很小的常数。

源代码

加了所有优化的代码框架：

function getfather(v:longint):longint;
begin
  if father[v]=v then
    exit(v) else
     father[v]:=getfather(father[v]);
    exit(father[v]);
end;

应用

Kruskal算法的优化