并矢积

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数学特别是双线性代数中,有同样维度的两个向量 \mathbf{u}\mathbf{v}并矢积

\mathbb{P} = \mathbf{u}\otimes\mathbf{v}

是这些向量的张量积,而结果是为 2 的张量

分量[编辑]

关于选定的 \{\mathbf{e}_i\},并矢积 \mathbb{P} = \mathbf{u} \otimes \mathbf{v} 的分量 P_{ij} 可以定义为

P_{ij} = u_i v_j ,

这里的

\mathbf{u} = \sum_i u_i \mathbf{e}_i ,
\mathbf{v} = \sum_j v_j \mathbf{e}_j ,

\mathbb{P} = \sum_{i,j} P_{ij} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j .

矩阵表示[编辑]

并矢积可以简单的表示为通过列向量 \mathbf{u} 乘以行向量 \mathbf{v} 的方块矩阵。例如,


 \mathbf{u} \otimes \mathbf{v}
 \rightarrow
 \begin{bmatrix}
 u_1 \\
 u_2 \\
 u_3 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}
 u_1v_1 & u_1v_2 & u_1v_3 \\
 u_2v_1 & u_2v_2 & u_2v_3 \\
 u_3v_1 & u_3v_2 & u_3v_3
 \end{bmatrix} ,

这里的箭头指示这只是并矢积关于特定的特定表示。在这种表示中,并矢积是克罗内克积的特殊情况。

参见[编辑]