并集

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A和B的并集

集合论数学的其他分支中,一组集合并集[1](台湾叫做聯集、大陆和港澳叫做併集)是这些集合的所有元素构成的集合,而不包含其他元素。

基本定义[编辑]

AB是集合,则AB并集是有所有A的元素和所有B的元素,而没有其他元素的集合。 AB的并集通常写作"AB"。形式上:

xAB的元素,当且仅当
  • xA的元素,
  • xB的元素。

举例: 集合{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是{1, 2, 3, 4}。数9 属于素数集合{2, 3, 5, 7, 11,…}和偶数集合{2, 4, 6, 8, 10,…}的并集,因为9既不是素数,也不是偶数。

更通常的,多个集合的并集可以这样定义: 例如,ABC的并集含有所有A的元素,所有B的元素和所有C的元素,而没有其他元素。形式上:

xABC的元素,当且仅当x属于Ax属于Bx属于C

代数性质[编辑]

二元并集(两个集合的并集)是一种结合运算,即
A ∪(BC) =(AB)∪C。事实上,ABC也等于这两个集合,因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的,并集运算满足交换律,即集合的顺序任意。

空集是并集运算的单位元。即{} ∪A = A,对任意集合A。可以将空集当作个集合的并集。

结合交集补集运算,并集运算使任意幂集成为布尔代数。例如,并集和交集相互满足分配律,而且这三种运算满足德·摩根律。若将并集运算换成对称差运算,可以获得相应的布尔环

无限并集[编辑]

最普遍的概念是:任意集合的并集。若M是一个集合的集合,则xM的并集的元素,当且仅当存在M的元素AxA的元素。即:

x \in \bigcup\mathbf{M} \iff \exists A{\in}\mathbf{M}, x \in A

M可以称作集合的搜集(collection of sets)或者集合空间(system of sets)[2]M的并集是一个集合,这就是公理集合论中的并集公理

例如:ABC是集合{A,B,C}的并集。同时,若M是空集,M的并集也是空集。有限并集的概念可以推广到无限并集。

上述概念有多种表示方法:

集合论者简单地写

\bigcup \mathbf{M}

而大多数人会这样写

\bigcup_{A\in\mathbf{M}} A

后一种写法可以推广为

\bigcup_{i\in I} A_{i}

表示集合\{A_i \ : \ i \in I\} \ 的并集。这里I是一个集合,Ai是一个i属于I的集合。

索引集I自然数集合的情况下,上述表示和求和类似:

\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}

同样,也可以写作"A1A2A3 ∪ ···". (这是一个可数的集合的并集的例子,在数学分析中非常普遍;参见σ-代数)。最后,要注意的是,当符号"∪"放在其他符号之前,而不是之间的时候,要写的大一些。

交集在无限并集中满足分配律,即

\bigcup_{i\in I}(A \cap B_{i}) = A \cap \bigcup_{i\in I} B_{i}

结合无限并集和无限交集的概念,可得

\bigcup_{i\in I}(\bigcap_{j\in J} A_{i,j}) \subseteq \bigcap_{j\in J}(\bigcup_{i\in I} A_{i,j})

参考[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ 程极泰. 集合论. 应用数学丛书 第一版. 国防工业出版社. 1985: 14. 15034.2766. 
  2. ^ Karel Hrbacek, Thomas Jech. Introduction to Set Theory 3rd. Marcel Dekker, Inc. 1999: 9. ISBN 0-8247-7915-0.