并集

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A 和 B 的并集

集合论数学的其他分支中,一组集合并集[1](台湾叫做聯集、大陆叫做併集)是这些集合的所有元素构成的集合,而不包含其他元素。

基本定义[编辑]

AB 是集合,则 AB 并集是有所有 A 的元素和所有 B 的元素,而没有其他元素的集合。 AB 的并集通常写作 "AB"。 形式上:

xAB 的元素,当且仅当
  • xA 的元素,
  • xB 的元素。

举例: 集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的并集是 {1, 2, 3, 4}。 数 9 属于素数集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶数集合 {2, 4, 6, 8, 10, …} 的并集,因为 9 既不是素数,也不是偶数。

更通常的,多个集合的并集可以这样定义: 例如,ABC 的并集含有所有 A 的元素,所有 B 的元素和所有 C 的元素,而没有其他元素。 形式上:

xABC 的元素,当且仅当 x 属于 Ax 属于 Bx 属于 C

代数性质[编辑]

二元并集(两个集合的并集)是一种结合运算,即
A ∪(BC) = (AB) ∪C。 事实上,ABC 也等于这两个集合,因此圆括号在仅进行并集运算的时候可以省略。

相似的,并集运算满足交换律,即集合的顺序任意。

空集是并集运算的单位元。 即 {} ∪A = A,对任意集合 A。 可以将空集当作个集合的并集。

结合交集补集运算,并集运算使任意幂集成为布尔代数。 例如,并集和交集相互满足分配律,而且这三种运算满足德·摩根律。 若将并集运算换成对称差运算,可以获得相应的布尔环

无限并集[编辑]

最普遍的概念是:任意集合的并集。 若 M 是一个集合的集合,则 xM 的并集的元素,当且仅当存在 M 的元素 AxA 的元素。即:

x \in \bigcup\mathbf{M} \iff \exists A{\in}\mathbf{M}, x \in A.

M可以称作集合的搜集(collection of sets)或者集合空间(system of sets)[2]M 的并集是一个集合,这就是公理集合论中的并集公理

例如: ABC 是集合 {A,B,C} 的并集。 同时,若 M 是空集, M 的并集也是空集。 有限并集的概念可以推广到无限并集。

上述概念有多种表示方法: 集合论科学家简单地写

\bigcup \mathbf{M}

而大多数人会这样写

\bigcup_{A\in\mathbf{M}} A

后一种写法可以推广为

\bigcup_{i\in I} A_{i}

表示集合 \{A_i \ : \ i \in I\} \ 的并集。 这里 I 是一个集合,Ai 是一个 i 属于 I 的集合。 在索引集 I自然数集合的情况下,上述表示和求和类似:

\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}

同样,也可以写作 "A1A2A3 ∪ ···". (这是一个可数的集合的并集的例子,在数学分析中非常普遍;参见σ-代数)。 最后,要注意的是,当符号 "∪" 放在其他符号之前,而不是之间的时候,要写的大一些。

交集在无限并集中满足分配律,即

\bigcup_{i\in I} (A \cap B_{i}) = A \cap \bigcup_{i\in I} B_{i}

结合无限并集和无限交集的概念,可得

\bigcup_{i\in I} (\bigcap_{j\in J} A_{i,j}) \subseteq \bigcap_{j\in J} (\bigcup_{i\in I} A_{i,j}).


参考[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ 程极泰. 集合论. 应用数学丛书 第一版. 国防工业出版社. 1985: 14. 15034.2766. 
  2. ^ Karel Hrbacek, Thomas Jech. Introduction to Set Theory 3rd. Marcel Dekker, Inc. 1999: 9. ISBN 0-8247-7915-0.