幺正算符

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泛函分析中,幺正算符是定义在希尔伯特空间上的有界线性算符U : H → H,满足如下规律

U^*U=UU^*=I

其中 UU厄米转置, 而 I : H → H恒等算符。 幺正算符具有如下性质:

  1. U 保持了希尔伯特空间上内积〈 , 〉的不变性, 即对于希尔伯特空间上的任意矢量 xy ,都有: \langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle.
  2. U满射的。

这两个条件还可以用两个较弱的但是等价的定义表示出来:

  1. U 保证了内积的不变
  2. U 是一个稠集.

U保持内积不变可以推出U是个有界线性算符;而U是稠集保证了U的逆U−1的存在。而U−1 = U是很明显的。

所以,幺正算符是希尔伯特空间自同构,即幺正算符保持空间结构的不变,比如说空间的线性叠加性和内积以及拓扑性质的不变。在群论中,一个给定希尔伯特空间H上的所有幺正算符组成了该空间的希尔伯特群,表示为Hilb(H)。

较弱的条件UU = I说明算符U是等距算符。另一个条件U U = I说明算符是伴同等距算符[1]

单位元 是单位算符的一般化形式。在单位元*-代数中, 其中的单元U 被叫做 单位元, 当满足如下条件:

U^*U=UU^*=I

其中 I 是单位算符。[2]

范例[编辑]

  • 在一个R2上旋转是一个最简单但又很重要的幺正算符。旋转并不改变一个矢量的长度或者两个矢量的夹角。这个算符还可以推广到R3中。
  • 在一个复数矢量空间C里,乘以一个绝对值是1的数,也就是,一个数形式为 ei θ ,其中θR,就是一个幺正算符。θ表示一个相位,相乘就是指乘以一个相位。注意到,θ的值是以2π 为模,但并不影响我们相乘的结果,所以这些在C空间内独立的幺正算符是有周期性的。作为一个集合,这个周期对应的群,我们称作U(1)。
  • 一般地说,酉矩阵是在有限维的希尔伯特空间下的幺正算符,所以,幺正算符的概念包括了酉矩阵的概念。正交矩阵就是酉矩阵的一个特例,当酉矩阵中元素都为实数。他们是在Rn上的幺正算符。
  • 幺正算符在幺正表示中应用。

线性叠加性[编辑]

幺正算符的叠加性并不是第一的性质, 也就是说并不是强加上去的性质, 而是可以从内积的线性叠加性和恒正行推导出来的性质:

 \langle \lambda\cdot Ux-U(\lambda\cdot x), \lambda\cdot Ux-U(\lambda\cdot x) \rangle
  = \| \lambda \cdot Ux \|^2 + \| U(\lambda \cdot x) \|^2 - \langle U(\lambda\cdot x), \lambda\cdot Ux \rangle - \langle \lambda\cdot Ux, U(\lambda\cdot x) \rangle
 = |\lambda|^2 \cdot \| Ux \|^2 + \| U(\lambda \cdot x) \|^2 - \overline{\lambda}\cdot \langle U(\lambda\cdot x), Ux \rangle - \lambda\cdot \langle Ux, U(\lambda\cdot x) \rangle
 = |\lambda|^2 \cdot \| x \|^2 + \| \lambda \cdot x \|^2 - \overline{\lambda}\cdot \langle \lambda\cdot x, x \rangle - \lambda\cdot \langle x, \lambda\cdot x \rangle
 = 0
可以得到近似后: \langle U(x+y)-(Ux+Uy), U(x+y)-(Ux+Uy) \rangle = 0 .

参见[编辑]

脚注[编辑]

  1. ^ Halmos 1982,Sect. 127, page 69)
  2. ^ Doran, Robert S.; Victor A. Belfi. Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems. New York: Marcel Dekker. 1986. ISBN 0824775694. 

参考文献[编辑]

  • 塞尔日·兰(1972). Differential manifolds. Reading, Mass.–London–Don Mills, Ont.: Addison-Wesley Publishing Co., Inc..
  • 保罗·哈尔莫斯(1982). A Hilbert space problem book. Springer.