幾乎處處

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測度論數學分析的一個分支)裡,若說一個性質為幾乎處處成立,即表示不符合此性質的元素組成的集合為一零測集,即其測度等於零的集合。當使用在實數的性質上時,若沒有另外提起則假定為勒貝格測度。幾乎處處(almost everywhere)可以被縮寫為a. e.;而一些文獻也有 p. p. 之類的縮寫,其源於同義的法語片語 presque partout

一個有全測度的集合是一個其補集為零測度的集合。

除了說一個性質幾乎處處成立之外,偶爾亦可以說一個性質是對幾乎所有元素成立的,即使幾乎所有這一詞有著其他的意義。

下面是包含有「幾乎處處」這一詞的一些定理:

  • f : RR為一勒貝格可積函數且f(x)幾乎處處大於零,則
\int f(x) \, dx \geq 0.
  • f : [a, b] → R為一單調函數,則f幾乎處處可微
  • f : RR為勒貝格可積且對所有實數a < b
\int_a^b |f(x)| \, dx < \infty
則存在一零集E(根據f)使得若x不在E內,其勒貝格平均
\frac{1}{2\epsilon} \int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} f(t)\,dt
便會收斂至f(x),當ε趨向至零時。換句話說,f的勒貝格平均幾乎處處收斂至f。集合E則稱為f的勒貝格集合,且可以證明為零測度的。
  • f(x,y)在R2上為博雷尔可測的,則對幾乎所有x,函數yf(x,y)為博雷尔可測的。

在實分析之外,「幾乎處處」一詞可以用極大濾子定義。例如在超實數的建構中,一個超實數被定義為相對於某一濾子幾乎處處相等的等價類。

抽象代數及其相關領域中,「幾乎處處」通常指某性質只對給定集合中的有限個元素不成立。

概率论裡,這一詞變成了幾乎必然幾乎確定幾乎總是,相對於一為1的概率

參考[编辑]

  • Billingsley, Patrick. Probability and measure 3rd edition. New York: John Wiley & sons. 1995. ISBN 0-471-00710-2.