幾乎處處

在測度論（數學分析的一個分支）裡，若說一個性質為幾乎處處成立，即表示不符合此性質的元素組成的集合為一零測集，即其測度等於零的集合。當使用在實數的性質上時，若沒有另外提起則假定為勒貝格測度。幾乎處處(almost everywhere)可以被縮寫為a. e.；而一些文獻也有 p. p. 之類的縮寫，其源於同義的法語片語 presque partout。

一個有全測度的集合是一個其補集為零測度的集合。

除了說一個性質幾乎處處成立之外，偶爾亦可以說一個性質是對幾乎所有元素成立的，即使幾乎所有這一詞有著其他的意義。

下面是包含有「幾乎處處」這一詞的一些定理：

• 若f : R → R為一勒貝格可積函數且f(x)幾乎處處大於零，則

$\int f(x) \, dx \geq 0.$

• 若f : [a, b] → R為一單調函數，則f幾乎處處可微。
• 當f : R → R為勒貝格可積且對所以實數a < b，

$\int_a^b |f(x)| \, dx < \infty$

則存在一零集E(根據f)使得若x不在E內，其勒貝格平均

$\frac{1}{2\epsilon} \int_{x-\epsilon}^{x+\epsilon} f(t)\,dt$

便會收斂至f(x)，當ε趨向至零時。換句話說，f的勒貝格平均幾乎處處收斂至f。集合E則稱為f的勒貝格集合，且可以證明為零測度的。

• 若f(x,y)在R²上為博雷尔可測的，則對幾乎所有x，函數y→f(x,y)為博雷尔可測的。

• 一有界函數f : [a, b] -> R為黎曼可積的，若且唯若其為幾乎處處連續的。

在實分析之外，「幾乎處處」一詞可以用極大濾子定義。例如在超實數的建構中，一個超實數被定義為相對於某一濾子幾乎處處相等的等價類。

在抽象代數及其相關領域中，「幾乎處處」通常指某性質只對給定集合中的有限個元素不成立。

在機率論裡，這一詞變成了幾乎一定，幾乎確定或幾乎總是，相對於一為1的機率。

參考

• Billingsley, Patrick. Probability and measure 3rd edition. New York: John Wiley & sons. 1995. ISBN 0-471-00710-2. 

• Halmos, Paul R. Measure Theory. New York: Springer-Verlag. 1974. ISBN 0-387-90088-8.