广义正交群

数学上，广义正交群或称伪正交群、不定正交群 O(p,q) 是所有保持 n=p+q 维实向量空间上的符号为 (p,q) 的非退化对称双线性形式的线性变换组成的李群。这个群的维数是 n(n−1)/2 。

广义特殊正交群 SO(p,q) 是 O(p,q) 中所有行列式 为1的元素构成的子群。

度量的符号（p、q 分别为正负特征值的个数）在同构的意义下决定该群；交换 p 和 q 相当于度量改变惯性指数，所以给出同样的群。如果 p 或 q 等于0，那么同构于普通正交群 O(n)。我们假设下文中 p 和 q 均是正整数。

群 O(p,q) 定义在实向量空间上。对于複空间，所有群 O(p,q; C) 都同构于通常正交群 O(p + q; C)，因为複共轭变换$z_j \mapsto iz_j$能改变二次型的惯性指数。

矩阵定义

和经典正交群 O(n) 一样，O(p,q) 能表示为矩阵群。 R^p,q 上由对角矩阵给出标准内积：

$\eta = \mathrm{diag}(\underbrace{1,\cdots,1}_{p},\underbrace{-1,\cdots,-1}_{q}).\,$

作为二次型，$Q(x_1,\dots,x_n) = x_1^2 + \cdots + x_p^2 - x_{p+1}^2 - \cdots - x_{p+q}^2 .\,$

群 O(p,q) 是由 n×n 矩阵 M （这里 n = p+q） 使得$M^T\eta M = \eta.$ ，或作为双线性形式$Q(Mv)=Q(v)$ 组成的群。

这里 M^T表示矩阵 M 的转秩。容易验证所有这样的矩阵构成一个群。M 的逆满足

$M^{-1} = \eta^{-1}M^T\eta.\,$

我们得到一个同构群。事实上将 η 换成任意 p 个正特征值 q 个负特征值的对称矩阵（这样的矩阵必是非奇异的），等价的，任何符号为 (p,q) 的二次型。对角化这个矩阵给出此群共轭于标准群 O(p,q)。

拓扑

O(p,q) 和 SO(p,q) 都不是连通的，分别有4个和2个分支。 $\pi_0(O(p,q)) \cong C_2 \times C_2$ 是克莱因四元群，每个分支保持或改变 p 维正定或 q 维负定子空间的定向。特殊正交群有分支$\pi_0(SO(p,q)) = \{(1,1), (-1,-1)\}$，同时保持或同时改变两个定向。

O(p,q) 的单位分支常记作 SO⁺(p,q)，能和 SO(p,q) 中同时保持两个定向的元素的集合等价起来。

群 O(p,q) 也不是紧，但包含紧子群 O(p) 和 O(q)，分别作用在两个确定子空间上。事实上，O(p)×O(q) 是 O(p,q)的极大紧子群。 而 $S(O(p)\times O(q))$ 是 SO(p,q) 的极大紧子群。 同样，SO(p)×SO(q) 是 SO⁺(p, q) 的极大紧子群。 从而在同论的意义上来说，这些群是（特殊）正交群的积，这样代数拓扑不变量都可以计算出来。

特别的，SO⁺(p, q) 的基本群是分支基本群的乘积， $\pi_1(\mbox{SO}^{+}(p,q)) = \pi_1(\mbox{SO}(p))\times\pi_1(\mbox{SO}(q))\,\!$， 由下表给出：

$\pi_1(\mbox{SO}^{+}(p,q))$	$p=1$	$p=2$	$p\geq 3$
$q=1$	{1}	$\mathbf{Z}$	$\mathbf{Z}_2$
$q=2$	$\mathbf{Z}$	$\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$	$\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}_2$
$q \geq 3$	$\mathbf{Z}_2$	$\mathbf{Z}_2 \times \mathbf{Z}$	$\mathbf{Z}_2 \times \mathbf{Z}_2$

参考文献

• V. L. Popov, Orthogonal group//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104 
• Anthony Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction, Second Edition, Progress in Mathematics, vol. 140, Birkhäuser, Boston, 2002. ISBN 0-8176-4259-5. (372页有不定正交群的描述)

• Joseph A. Wolf, Spaces of constant curvature, (1967) 335页.

参见

• 洛伦兹群
• 正交群
• 旋量群