广义正交群

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数学上,广义正交群或称伪正交群不定正交群 O(p,q) 是所有保持 n=p+q 维实向量空间上的符号为 (p,q) 的非退化对称双线性形式线性变换组成的李群。这个群的维数是 n(n−1)/2 。

广义特殊正交群 SO(p,q) 是 O(p,q) 中所有行列式 为1的元素构成的子群

度量的符号(pq 分别为正负特征值的个数)在同构的意义下决定该群;交换 pq 相当于度量改变惯性指数,所以给出同样的群。如果 pq 等于0,那么同构于普通正交群 O(n)。我们假设下文中 pq 均是正整数。

群 O(p,q) 定义在向量空间上。对于空间,所有群 O(p,q; C) 都同构于通常正交群 O(p + q; C),因为複共轭变换z_j \mapsto iz_j能改变二次型的惯性指数。

矩阵定义[编辑]

和经典正交群 O(n) 一样,O(p,q) 能表示为矩阵群。 Rp,q 上由对角矩阵给出标准内积:

\eta = \mathrm{diag}(\underbrace{1,\cdots,1}_{p},\underbrace{-1,\cdots,-1}_{q}).\,

作为二次型,Q(x_1,\dots,x_n) = x_1^2 + \cdots + x_p^2 - x_{p+1}^2 - \cdots - x_{p+q}^2 .\,

群 O(p,q) 是由 n×n 矩阵 M (这里 n = p+q) 使得M^T\eta M = \eta. ,或作为双线性形式Q(Mv)=Q(v) 组成的群。

这里 MT表示矩阵 M 的转秩。容易验证所有这样的矩阵构成一个群。M 的逆满足

M^{-1} = \eta^{-1}M^T\eta.\,

我们得到一个同构群。事实上将 η 换成任意 p 个正特征值 q 个负特征值的对称矩阵(这样的矩阵必是非奇异的),等价的,任何符号为 (p,q) 的二次型。对角化这个矩阵给出此群共轭于标准群 O(p,q)。

拓扑[编辑]

O(p,q) 和 SO(p,q) 都不是连通的,分别有4个和2个分支\pi_0(O(p,q)) \cong C_2 \times C_2克莱因四元群,每个分支保持或改变 p 维正定或 q 维负定子空间的定向。特殊正交群有分支\pi_0(SO(p,q)) = \{(1,1), (-1,-1)\},同时保持或同时改变两个定向。

O(p,q) 的单位分支常记作 SO+(p,q),能和 SO(p,q) 中同时保持两个定向的元素的集合等价起来。

群 O(p,q) 也不是,但包含紧子群 O(p) 和 O(q),分别作用在两个确定子空间上。事实上,O(p)×O(q) 是 O(p,q)的极大紧子群。 而 S(O(p)\times O(q)) 是 SO(p,q) 的极大紧子群。 同样,SO(p)×SO(q) 是 SO+(p, q) 的极大紧子群。 从而在同论的意义上来说,这些群是(特殊)正交群的积,这样代数拓扑不变量都可以计算出来。

特别的,SO+(p, q) 的基本群是分支基本群的乘积, \pi_1(\mbox{SO}^{+}(p,q)) = \pi_1(\mbox{SO}(p))\times\pi_1(\mbox{SO}(q))\,\!, 由下表给出:

\pi_1(\mbox{SO}^{+}(p,q)) p=1 p=2 p\geq 3
q=1 {1} \mathbf{Z} \mathbf{Z}_2
q=2 \mathbf{Z} \mathbf{Z} \times \mathbf{Z} \mathbf{Z} \times \mathbf{Z}_2
q \geq 3 \mathbf{Z}_2 \mathbf{Z}_2 \times \mathbf{Z} \mathbf{Z}_2 \times \mathbf{Z}_2

参考文献[编辑]

  • Joseph A. Wolf, Spaces of constant curvature, (1967) 335页.

参见[编辑]