广义黎曼猜想

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黎曼猜想数学中最重要的猜想之一,描述了黎曼ζ函数非平凡零点的分布规律。而其中黎曼ζ函数可以用各种整体L函数(global L-function)替代,由此得到黎曼猜想不同类型的推广。这些推广的猜想描述的是不同L函数非平凡零点分布的规律。许多数学家相信这些猜想是正确的。不过其中仅有部分函数域情形下的推广得到了证明。

整体L函数可以与椭圆曲线数域(此时称为戴德金ζ函数)、马斯形式(Maass form)或狄利克雷特征(此时称为狄利克雷L函数)相联系。其中,描述戴德金ζ函数的黎曼猜想被称为扩展黎曼猜想(extended Riemann hypothesis,ERH),而描述狄利克雷L函数的黎曼猜想则被称为广义黎曼猜想(generalized Riemann hypothesis,GRH)。(也有许多数学家用“广义黎曼猜想”用作对各种整体L函数推广的总称,而非单指狄利克雷L函数下的情形。)

广义黎曼猜想[编辑]

狄利克雷L函数下的广义黎曼猜想最初可能是由皮尔茨(Piltz)于1884年提出的。与原始的黎曼猜想类似,该猜想对研究素数分布十分重要。

如查一个已知的狄利克雷特征χ,可以定义如下狄利克雷L函数


L(\chi,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}

其中,s为实部大于1的所有复数。这一函数可以解析延宕为整个复平面上的亚纯函数。广义黎曼猜想即是指,狄利克雷L函数L(χ,s)的所有非平凡零点的实部都为1/2。

当对所有n都有χ(n) = 1时,广义黎曼猜想退化为普通的黎曼猜想。

扩展黎曼猜想[编辑]

假设K数域有理数域的有限次代数扩张域),OKK整数环a为OK理想Na则为非零理想的绝对范数。于是可以定义K上的戴德金ζ函数


\zeta_K(s) = \sum_a \frac{1}{(Na)^s}

其中,s为实部大于1的所有复数。求和运算对OK的所有非零理想a进行。

这一函数也可以解析延宕到整个复平面上。扩展黎曼猜想是指,戴德金ζ函数ζK(s)的所有非平凡零点的实部都为1/2。

当数域K取有理数域Q,其整数环则为Z时,扩展黎曼猜想退化为普通的黎曼猜想。

参考文献[编辑]