序數算術

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我們可在序數上定義若干算術運算,這是對自然數運算的推廣。

加法[编辑]

給出序數 ST,在 {(s,0):s ∈ S} ∪ {(t,1):tT} 定義以下的良序關係:(a,δ)<(b,β) ⇔ δ<β 或 δ=β 而 a<b。 假設 ST 不相交,這等於考慮 ST,而 S 的元素定義為小於 T 的元素。這良序集對應的序數記作 S+T,稱為序數和。

序數和適合結合律,即 (S+T)+R=S+(T+R)。

第一個超窮序數是 ω,自然數集的序數。ω+ω 就像

0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...

這不同於 ω。 在 ω 只有 0 沒有直接前導者,而在 ω+ω 0 and 0' 都沒有直接前導者。

3 + ω 就像

0 < 1 < 2 < 0' < 1' < 2' < ...

稍一留心,會發覺這與 ω 沒有分別,是以 3 + ω = ω。而 ω + 3 就像

0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2'

卻是不同於 ω 原因它有個最大元。是以序數和不符交換律

讀者可試證 (ω + 4) + ω = ω + (4 + ω) = ω + ω。

乘法[编辑]

給出序數 ST,在笛卡儿积 S × T上定義以下的良序關係:(a,δ)<(b,β) ⇔ δ<β 或 δ=β 而 a<b。對應的序數記作 ST,稱為序數積。

序數積適合結合律,即 (ST)R=S(TR)。

序數積也不符合交換律。舉例,ω2 就像:

00 < 10 < 20 < 30 < ... < 01 < 11 < 21 < 31 < ...

於是 ω2 = ω + ω。但 2ω 卻是:

00 < 10 < 01 < 11 < 02 < 12 < 03 < 13 < ...

可見 2ω = ω ≠ ω2。

分配律只是部分成立。有 R(S+T) = RS + RT 但沒有 (T+U)R = TR + UR:(1+1)ω=2ω = ω 但 1ω + 1ω=ω+ω。

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給出序數 ST,幕數 ST 是指 {SR : R < T}的最小上界。當然有 S0=1,S1=SS2=S×SS3=S×S×S,……。

第一個無限序數是 ω,第一個不能由 ω 有限引伸而成的序數是 ε0。對多數利用超窮歸納法的證明,ε0以經足夠。要知道 \epsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdots}}}\epsilon_0 = \omega^{\epsilon_0}

康托尔范式[编辑]

任一序數 \alpha>0 可以寫成 \omega^{\beta_1} c_1 + \omega^{\beta_2}c_2 + \ldots + \omega^{\beta_k}c_k,當中 k, c_1, c_2, \ldots, c_k 為正整數而 \beta_1 > \beta_2 > \ldots > \beta_k \ge 0 為序數。此分解稱為 \alpha康托尔范式(Cantor normal form),可以看作是個 ω 進制的记数系统,而 \beta_1 叫作 \alpha 的次數。一般來說,\beta_1\le\alpha;但若然 \alpha<\epsilon_0, 就有 \beta_1<\alpha, 並可得出一個只有自然數及 ωs 的表達式。

注意,給出基數 ST(基數也是序數),ST 代表的序數和它代表的基數是不同的!當然,T 是自然數時例外。

最小的不可數序數記作 ω1

引用[编辑]

  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.