库利－图基快速傅里叶变换算法

库利－图基快速傅里叶变换算法（Cooley-Tukey算法）是最常見的快速傅里葉變換算法。這一方法以分治法為策略遞歸地將長度為N = N1N2的DFT分解為長度分別為N1和N2的兩個較短序列的DFT，以及與旋轉因子的複數乘法。 這種方法以及FFT的基本思路在1965年J. W. Cooley和J. W. Tukey合作發表An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series之後開始為人所知。但後來發現，實際上這兩位作者只是重新發明了高斯在1805年就已經提出的算法(此算法在歷史上數次以各種形式被再次提出)。

库利－图基算法最有名的應用，是將序列長為N 的DFT分割為兩個長為N/2 的子序列的DFT，因此這一應用只適用於序列長度為2的冪的DFT計算，即基2-FFT。實際上，如同高斯和库利與图基都指出的那樣，库利－图基算法也可以用於序列長度N 為任意因數分解形式的DFT，即混合基FFT，而且還可以應用於其他諸如分裂基FFT等變種。儘管库利－图基算法的基本思路是採用遞歸的方法進行計算，大多數傳統的算法實現都將顯示的遞歸算法改寫為非遞歸的形式。另外，因為库利－图基算法是將DFT分解為較小長度的多個DFT，因此它可以同任一種其他的DFT算法聯合使用。

複雜度

離散傅立葉變換的複雜度為$\mathcal{O}(n^2)$（可參考大O符號）

快速傅立葉變換的複雜度為$\mathcal{O}(N\log N)$，分析可見下方架構圖部分，級數為$\log N$ 而每一級的複雜度為$N$，故複雜度為$\mathcal{O}(N\log N)$

時域/頻域抽取法

在FFT演算法中，針對輸入做不同方式的分組會造成輸出順序上的不同。如果我們使用時域抽取(Decimation-in-time)，那麼輸入的順序將會是位元反轉排列(bit-reversed order)，輸出將會依序排列。但若我們採取的是頻域抽取(Decimation-in-frequency)，那麼輸出與輸出順序的情況將會完全相反，變為依序排列的輸入與位元反轉排列的輸出。

時域抽取法

我們可以將DFT公式中的項目在時域上重新分組，這樣就叫做時域抽取(Decimation-in-time)，在這裡 $e^{-j(2 \pi \frac{nk}{N})}$ 將會被代換為旋轉因子(twiddle factor)$W_N^{nk}$。

$X[k]= \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j(2 \pi \frac{nk}{N})}\qquad k=0,1,\ldots,N-1$

$=\sum_{n \ even} x[n]W_N^{nk} + \sum_{n \ odd} x[n]W_N^{nk}$

$=\sum_{r=0}^{(N/2)-1} x[2r]W_N^{2rk} + \sum_{r=0}^{(N/2)-1} x[2r+1]W_N^{(2r+1)k}$

$=\sum_{r=0}^{(N/2)-1} x[2r]W_N^{2rk} + W_N^k \sum_{r=0}^{(N/2)-1} x[2r+1]W_N^{2rk}$

$=\sum_{r=0}^{(N/2)-1} x[2r]W_{N/2}^{rk} + W_N^k \sum_{r=0}^{(N/2)-1} x[2r+1]W_{N/2}^{rk}$

$=G[k]+W_N^k H[k]$

在這邊我們要注意的是，我們所替換的G[k]與H[k]具有週期性：

• $\begin{cases}G[k+ \frac{N}{2}]=G[k]\\H[k+\frac{N}{2}]=H[k]\end{cases}$

上述的推導可以劃成下面的圖：

劃紅框處所示的$\frac{N}{2}$點 DFT架構如下圖所示：

劃紅框處所示的$\frac{N}{4}$點 DFT架構如下圖所示：

下圖是一個8點DIT FFT的完整架構圖。

頻域抽取法

我們可以將DFT公式中的項目在頻域上重新分組，這樣就叫做頻域抽取(Decimation-in-frquency)。

首先先觀察再頻域上偶數項的部分：

$X[2r]= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]W_N^{n(2r)} \ r=0,1,\cdots ,\frac{N}{2}-1$

$= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} x[n]W_N^{2nr} + \sum_{n=\frac{N}{2}}^{N-1} x[n]W_N^{2nr}$

$= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} x[n]W_N^{2nr} + \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} x[n+\frac{N}{2}]W_N^{2r[n+\frac{N}{2}]}$

${\color{Gray} \because W_N^{2r[n+\frac{N}{2}]}=W_N^{2rn}W_N^{rN}=W_N^{2rn} }$

$= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} x[n]W_N^{2rn} + \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} x[n+\frac{N}{2}]W_N^{2rn}$

$= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} (x[n]+x[n+\frac{N}{2}])W_{\frac{N}{2}}^{rn}$

$= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} g[n]W_{\frac{N}{2}}^{rn}$

再觀察再頻域上奇數項的部分：

$X[2r+1]= \sum_{n=0}^{N-1} x[n]W_N^{n(2r+1)} \ r=0,1,\cdots ,\frac{N}{2}-1$

$= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} x[n]W_N^{n(2r+1)} + \sum_{n=\frac{N}{2}}^{N-1} x[n]W_N^{n(2r+1)}$

$= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} x[n]W_N^{n(2r+1)} + \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} x[n+\frac{N}{2}]W_N^{(2r+1)[n+\frac{N}{2}]}$

${\color{Gray} \because W_N^{(2r+1)[n+\frac{N}{2}]}=W_N^{(2r+1)n}W_N^{(2r+1)\frac{N}{2}}=-W_N^{(2r+1)n} }$

$= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} x[n]W_N^{(2r+1)n} - \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} x[n+\frac{N}{2}]W_N^{(2r+1)n}$

$= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} (x[n]-x[n+\frac{N}{2}])W_{N}^{n(2r+1)}$

$= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} (x[n]-x[n+\frac{N}{2}])W_{N}^{n}W_{\frac{N}{2}}^{nr}$

$= \sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} (h[n]W_N^n)W_{\frac{N}{2}}^{rn}$

上述的推導可以畫成下面的圖：

更進一步的拆解$\frac{N}{2}$-point DFT的架構

下圖為8點FFT下$\frac{N}{4}$-point DFT的架構

總結上述架構，完整的8點DIF FFT架構圖為

單一基底

利用库利－图基演算法進行離散傅立葉拆解時，能夠依需求而以2, 4, 8…等2的冪次方為單位進行拆解，不同的拆解方法會產生不同層數快速傅里葉變換的架構，基底越大則層數越少，複數乘法器也越少，但是每級的蝴蝶形架構則會越複雜，因此常見的架構為2基底、4基底與8基底這三種設計。

2基底

2基底-快速傅立葉演算法(Radix-2 FFT)是最廣為人知的一種库利－图基快速傅立葉演算法分支。此方法不斷地將N點的FFT拆解成兩個'N/2'點的FFT，利用旋轉因子$W^{nk},W^{\frac{N}{2}}$的對稱性藉此來降低DFT的計算複雜度，達到加速的功效。

而其實前述有關時域抽取或是頻域抽取的方法介紹，即為2基底的快速傅立葉轉換法。以下展示其他種2基底快速傅立葉演算法的連線方法，此種不規則的連線方法可以讓輸出與輸入都為循序排列，但是連線的複雜度卻大大的增加。

4基底

4基底快速傅立葉變換演算法則是承接2基底的概念，在此裡用時域抽取的技巧，將原本的DFT公式拆解為四個一組的形式：

$X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} \ k = 0,1, \dots , N-1$

$= \sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1} x[4n+0]W_N^{(4n+0)k} + \sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1} x[4n+1] W_N^{(4n+1)k}$

$+ \sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1} x[4n+2]W_N^{(4n+2)k} + \sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1} x[4n+3]W_N^{(4n+3)k}$

$= W_N^0 \sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1} x[4n+0]W_{\frac{N}{4}}^{nk} + W_N^1 \sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1} x[4n+1]W_{\frac{N}{4}}^{nk}$

$+ W_N^2 \sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1} x[4n+2]W_{\frac{N}{4}}^{nk} + W_N^3 \sum_{n=0}^{\frac{N}{4}-1} x[4n+3]W_{\frac{N}{4}}^{nk}$

$W_N^0 F_0 (k) + W_N^k F_1 (k) + W_N^2k F_2 (k) + W_N^3k F_3 (k)$

在這裡再利用$W^{nk+\frac{N}{4}} = - W^{nk+\frac{3N}{4}} = -j W^{nk}$的特性來進行與2基數FFT類似的化減方法，以降低演算法複雜度。

8基底

在库利－图基算法裡，使用的基底(radix)越大，複數的乘法與記憶體的存取就越少，所帶來的好處不言而喻。但是隨之而來的就是實數的乘法與實數的加法也會增加，尤其計算單元的設計也就越複雜，對於可應用FFT之點數限制也就越嚴格。在表中我們可以看到在不同基底下所需的計算成本。

使用4096點FFT在不同基底下的計算量

動作	2基底	4基底	8基底
複數乘法	22528	15360	10752
實數乘法	0	0	8192
複數加法	49152	49152	49152
實數加法	0	0	8192
記憶體存取	49152	24576	16384

在DFT的公式中，我們重新定義x=[x(0),x(1),…,x(N-1)]T, X=[X(0),X(1),…,X(N-1)]T，則DFT可重寫為X=FN‧x。FN是一個N×N的DFT矩陣，其元素定義為[FN]ij=WNij(i,j ∈ [0,N-1]),當N=8時，我們可以得到以下的 F8矩陣並且進一步將其拆解。

在拆解成三個矩陣相乘之後，我們可以將複數運算的數量從56個降至24個複數的加法。底下是8基底的的SFG。要注意的是所有的輸出與輸入都是複數的形式，而輸出與輸入的排序也並非規律排列，此種排列方式是為了要達到接線的最佳化。

混合基底

2/8基底

在2/8基底的演算法中，我們可以看到我們對於偶數項的輸出會使用2基底的分解法，對於奇數項的輸出採用8基底的分解法。這個做法充分利用了2基底與4基底擁有最少乘法數與加法數的特性。當使用了2基底的分解法後，偶數項的輸出如下所示。

$C_{2k}=\sum_{n=0}^{\frac{N}{2}-1} (x_{2n}+x_{\frac{N}{2}+n})W^{2nk}$

奇數項的輸出則交由8基底分解來處理，如下四式所述。

$C_{8k+1}=\sum_{n=0}^{\frac{N}{8}-1}\begin{Bmatrix}[(x_n-x_{n+\frac{N}{2}} )-j(x_{n+\frac{N}{4}}-x_{n+\frac{3N}{4}} )]+W^{\frac{N}{8}}[(x_{n+\frac{N}{8}}-x_{n+\frac{5N}{8}} )-j(x_{n+\frac{3N}{8}}-x_{n+\frac{7N}{8}} )]\end{Bmatrix}W^{8nk}W^n$

$C_{8k+5}=\sum_{n=0}^{\frac{N}{8}-1}\begin{Bmatrix}[(x_n-x_{n+\frac{N}{2}} )-j(x_{n+\frac{N}{4}}-x_{n+\frac{3N}{4}} )]-W^{\frac{N}{8}}[(x_{n+\frac{N}{8}}-x_{n+\frac{5N}{8}} )-j(x_{n+\frac{3N}{8}}-x_{n+\frac{7N}{8}} )]\end{Bmatrix}W^{8nk}W^{5n}$

$C_{8k+3}=\sum_{n=0}^{\frac{N}{8}-1}\begin{Bmatrix}[(x_n-x_{n+\frac{N}{2}} )+j(x_{n+\frac{N}{4}}-x_{n+\frac{3N}{4}} )]+W^{\frac{3N}{8}}[(x_{n+\frac{N}{8}}-x_{n+\frac{5N}{8}} )+j(x_{n+\frac{3N}{8}}-x_{n+\frac{7N}{8}} )]\end{Bmatrix}W^{8nk}W^{3n}$

$C_{8k+7}=\sum_{n=0}^{\frac{N}{8}-1}\begin{Bmatrix}[(x_n-x_{n+\frac{N}{2}} )+j(x_{n+\frac{N}{4}}-x_{n+\frac{3N}{4}} )]-W^{\frac{3N}{8}}[(x_{n+\frac{N}{8}}-x_{n+\frac{5N}{8}} )+j(x_{n+\frac{3N}{8}}-x_{n+\frac{7N}{8}} )]\end{Bmatrix}W^{8nk}W^{7n}$

以上式子就是2/8基底的FFT快速演算法。在架構圖上可化為L型的蝴蝶運算架構，如下圖所示。

而下圖表示的是一個64點的FFT使用2/8基底的架構圖。雖然2/8基底的演算法縮減了$W^{\frac{N}{8}},W^{\frac{3N}{8}}$的乘法量，但是這種演算法最大的缺點是跟其他固定基底或是混合基底比較起來，他的架構較為不規則。所以在硬體上比4基底或是2基底更難實現。

2/4/8基底

為了改進Radix 2/8在架構上的不規則性，我們在這裡做了一些修改，如下圖4.。此修改可讓架構更加規則，且所使用的加法器與乘法器數量更加減少，如下表所示。

8ⁿ點FFT在不同演算法下所需複數乘法量

N=8n	2基底	4基底	2/4混合基底	2/4/8基底
8	2	-	2	0
64	98	76	72	48
512	1538	-	1082	824
4096	18434	13996	12774	10168

在這裡我們最小的運算單元稱為PE(Process Element),PE內部包含了2/8基底、2/4基底、2基底的運算，簡化過的信號處理流程與蝴蝶型架構圖可見下圖

2²基底

基底的選擇越大會造成蝴蝶形架構更加複雜，控制電路也會複雜化。因此Shousheng He和Mats Torkelson在1996提出了一個2^2基底的FFT演算法，利用旋轉因子的特性： $W_{ \frac{N}{4} } =-j$。而 –j 的乘法基本上只需要將被乘數的實部虛部對調，然後將虛部加上負號即可，這樣的負數乘法被定義為'簡單乘法'，因此可以用很簡單的硬體架構來實現。利用上面的特性，2²基底FFT能用串接的方式將旋轉因子以4為單位對DFT公式進行拆解，將蝴蝶形架構層數降到log4N，大幅減少複數乘法器的用量，而同時卻維持了2基底蝴蝶形架構的簡單性，在效能上獲得改進。2²基底DIF FFT演算法的拆解方法如下列公式所述：

N點DFT公式： $X(k)=\sum_{n=0}^{N-1} x(n)W^{nk}_{N}, 0\leqq k< N$

利用線性映射將n與k映射到三個維度上面

$\begin{cases} n = _N \\ k = _N \end{cases}$

然後套用Common Factor Algotithm(CFA)

$X(k_1 + 2k_2 + 4k_3)=\sum_{n_3=0}^{\frac{N}{4}-1} \sum_{n_2=0}^{1} \sum_{n_1=0}^{1} x(\frac{N}{2} n_1 + \frac{N}{4} n_2 + n_3)W^{( \frac{N}{2} n_1 + \frac{N}{4} n_2 + n_3)( k_1 + 2k_2 + 4k_3)}_{N}$

$=\sum_{n_3=0}^{\frac{N}{4}-1} \sum_{n_2=0}^{1} \begin{Bmatrix}B^{k_1}_{\frac{N}{2}}W^{(\frac{N}{4}n_2 + n_3)k_1}_N\end{Bmatrix}W^{(\frac{N}{4}n_2 + n_3)(2k_2 + 4k_3)}_N$

而蝴蝶型架構會變成以下形式

$B^{k_1}_{\frac{N}{2}} = x(\frac{N}{4}n_2 + n_3 ) + (-1)^{k_1}x(\frac{N}{4}n_2+n_3+ \frac{N}{2})$

利用旋轉因子$W_{ \frac{N}{4} } =-j$的特性，可以觀察出

$W^{( \frac{N}{4} n_2 + n_3)( k_1 + 2k_2 + 4k_3)}_{N} = W^{N n_2 n_3 }_N W^{\frac{N}{4} n_2 (k_1+2k_2)}_N W^{n_3 (k_1 + 2k_2 )}_N W^{4n_3 k_3}_N =(-j)^{n_2(k_1+2k_2)}W^{n_3 (k_1 + 2k_2 )}_N W^{4n_3 k_3}_N$

再將此公式帶入原式中可以得到

$X(k_1 + 2k_2 + 4k_3)=\sum_{n_3=0}^{\frac{N}{4}-1} [H(k_1,k_2,n_3)W^{n_3 (k_1 + 2k_2 )}_N]W^{4n_3 k_3}_N$

$H(k_1,k_2,n_3)= \begin{matrix} \underbrace{ \begin{matrix} BF2 I \\ \overbrace{[ x(n_3)+(-1)^{k_1}(n_3+\frac{N}{2})]} \end{matrix} \begin{matrix}\\ \\ +(-j)^{k_1+2k_2} \end{matrix} \begin{matrix} BF2 I \\ \overbrace{[ x(n_3+\frac{N}{4})+(-1)^{k_1}(n_3+\frac{3N}{4})]} \end{matrix} } \\ BF2 II \end{matrix}$

如上述公式所示，原本的DFT公式會被拆解成多個$H(k_1,k_2,n_3)$，而$H(k_1,k_2,n_3)$又可分為BF2I與BF2II兩個階層，分別會對應到之後所介紹的兩種硬體架構。

一個16點的DFT公式經過一次上面所述之拆解之後可得下面的FFT架構

可以看出上圖的架構保留了2基底的簡單架構，然而複數乘法卻降到每兩級才出現一次，也就是$log_4 N$次。而BF2I以及BF2II所對應的硬體架構下圖：

其中BF2II硬體單元中左下角的交叉電路就是用來處理-j的乘法。

一個128點的FFT架構可以由下面的硬體來實現：

其中圖下方的為一7位元寬的計數器，而此架構的控制電路相當單純，只要將計數器的各個位元分別接上BF2I與BF2II單元即可。

下表將2基底、4基底與2²基底演算法做一比較，可以發現2²基底演算法所需要的乘法氣數量為2基底的一半，加法棄用量是4基底的一半，並維持一樣的記憶體用量和控制電路的簡單性。

乘法器與加法器數量比較

	乘法數	加法數	記憶體大小	控制電路
R2SDF	2(log4N-1)	4log4N	N-1	簡單
R4SDF	log4N -1	8log4N	N-1	中等
R22SDF	log4N -1	4log4N	N-1	簡單

2³基底

如上所述，2²演算法是將旋轉因子 $W^{ \frac{N}{4} }=-j$視為一個簡單乘法，進而由公式以及硬體上的化簡獲得硬體需求上的改進。而藉由相同的概念，Shousheng He和Mats Torkelson進一步將旋轉因子$W^{\frac{N}{8}}= \frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)$ 的乘法化簡成一個簡單乘法，而化簡的方法將會在下面講解。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘法化簡

在2基數FFT演算法中的基本概念是利用旋轉因子$W^{nk},W^{\frac{N}{2}}$的對稱性，4基數演算法則是利用 $W^{nk+\frac{N}{4}} = - W^{nk+\frac{3N}{4}} = -j W^{nk}$ 的特性。但是我們會發現在這些旋轉因子的對稱特性中─

$W^{\frac{N}{8}}=-W^{\frac{5N}{8}}=\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j),W^{\frac{3N}{8}}=-W^{\frac{7N}{8}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)$

─並沒有被利用到。主要是因為$\frac{\sqrt{2}}{2}(1-j)$的乘法運算會讓整個FFT變得複雜，但是如果藉由近似的方法，我們便可以將此一運算化簡為12個加法。

$\frac{\sqrt{2}}{2}=0.70710678=2^{-1}+2^{-3}+2^{-4}+2^{-6}+2^{-8}+2^{-9}$

我們可以從上式注意到，$\frac{\sqrt{2}}{2}$可以被近似為五個加法的結果，所以$\frac{\sqrt{2}}{2}(1+j)$ 就可以被簡化為只有六個加法，再算入實部與虛部的計算，總共只需12個加法器就可以運用到此一簡化特性。

經由與2²基底類似的推導，並用串接的方式將旋轉因子以8為單位對DFT公式進行拆解，2³基底FFT演算法進一步將複數乘法器的用量縮減到log₈N，並同時維持硬體架構的簡單性。 　　 推導的方法與2²基底相當類似。藉由這樣的方法，2³基底能將乘法器的用量縮減到2基底的1/3，並同時維持一樣的記憶體用量以及控制電路的簡單性。

參考資料

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