庞加莱半平面模型

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庞加莱模型的星状正则七边形镶嵌Order-3 heptagonal tiling)。

非欧几里得几何中,庞加莱半平面模型Poincaré half-plane model)是赋有庞加莱度量上半平面,这是二维双曲几何的一个模型。

它以昂利·庞加莱命名,但最初是贝尔特拉米Eugenio Beltrami)发现的,他用这个模型与克莱因模型以及庞加莱圆盘模型(属于黎曼)证明了双曲几何与欧几里得几何相容性等价equiconsistent)。圆盘模型与半平面模型在共形映射下是等价的。

对称群[编辑]

射影线性群 PGL(2,C) 由莫比乌斯变换作用黎曼球面上。保持上半平面不动的子群是 PGL(2,R),这些变化的系数是实数,它们传递、等距作用在上半平面上,将它变成一个齐性空间

有四个非常相关的李群通过分式线性变换作用在上半平面上,且保持双曲距离。

  • 由行列式为 +1 的 2×2 实矩阵组成的特殊线性群SL(2,R)。注意许多书籍经常说 SL(2,R),其实际是指 PSL(2,R)。
  • 由行列式为 +1 或 -1 组成的 2×2 实矩阵 S*L(2,R) 。注意 SL(2,R) 是这个群的一个子群。
  • 射影线性群 PSL(2,R) = SL(2,R)/{±I},由 SL(2,R) 中矩阵模去正负恒同矩阵。
  • 群 PS*L(2,R) = S*L(2,R)/{±I} 同样是射影群,同样是模去正负恒同矩阵。

这些群与庞加莱模型的关系如下:

  • H 的所有等距的群,通常记做 Isom(H),同构于 PS*L(2,R)。这包括保持定向和反定向的等距。反定向的映射(镜映射)是 z\rightarrow -\overline{z}
  • H 保持定向的等距,通常记做 Isom+(H),同构于 PSL(2,R)。

等距群的一些重要的子群是富克斯群。其中一个经常见到的是模群 SL(2,Z)。这个群在两个方面很重要。首先,它是正方形 2×2 点的对称群。从而在一个方形网格中周期函数,比如模形式以及椭圆函数,将从这个网格继承一个 SL(2,Z) 对称。另一方面,SL(2,Z) 当然也是 SL(2,R) 的一个子群,从而嵌入其中有双曲表现。特别地,SL(2,Z) 可用来将双曲平面镶嵌为等(庞加莱)面积的单元。

等距对称[编辑]

特殊线性群 PSL(2,R) 在 H 上的作用定义为

\left(\begin{matrix}a&b\\ c&d\\ \end{matrix}\right) \cdot z = \frac{az+b}{cz+d} = {(ac|z|^2+bd+(ad+bc)\Re(z))  + i\Im(z)\over|cz+d|^2}.\,

注意到这个作用是传递的,从而任何对 z_1,z_2\in\mathbb{H},存在一个 g\in {\rm PSL}(2,\mathbb{R}) 使得 gz_1=z_2。这个作用也是忠实的:如果对 z 属于 Hgz=z,那么 g=e

H 中一个元素 z 稳定子或迷向子群是所有 g\in{\rm PSL}(2,\mathbb{R}) 使 z 不变 gz=z 的集合。i 的稳定子是旋转群

{\rm SO}(2) = \left\{ \left(\begin{matrix}\cos\theta&\sin\theta\\ -\sin\theta&\cos\theta\\ \end{matrix}\right)\,:\,\theta\in{\mathbf R}\right\}.\,

由传递性,H' 中任何元素 z 可由 PSL(2,R) 中一个元素映为 i,这意味着任何 z 的迷向子群同构于 SO(2)。从而 H = PSL(2,R)/SO(2)。或者,上半平面上的切向量丛,称为单位切丛,同构于 PSL(2,R)。

利用模群 SL(2,Z),上半平面镶嵌成自由正则集合free regular set)。

测地线[编辑]

这个度量张量的测地线是垂直于实数轴的圆弧(即圆心位于实轴上的半圆周)以及终于实轴的竖直直线。

经过 i 的单位速度竖直测地线为:

\gamma(t) = \left(\begin{matrix}e^{t/2}&0\\ 
                   0&e^{-t/2}\\ \end{matrix}\right) \cdot i 
   = ie^t.\,

因为 PSL(2,R) 作为等距传递作用在上半平面,这条测地线通过 PSL(2,R) 的作用映到其它测地线。从而,一般的单位速度测地线由

\gamma(t) = 
\left(\begin{matrix}a&b\\ c&d\\ \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}e^{t/2}&0\\ 
                   0&e^{-t/2}\\ \end{matrix}\right) \cdot i
  = \frac {aie^t +b} {cie^t +d}

给出。这给出了上半平面上单位长切丛(复线丛测地流的完整描述。

另见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Eugenio Beltrami, Theoria fondamentale delgi spazil di curvatura constanta, Annali. di Mat., ser II 2 (1868), 232-255
  • Henri Poincaré (1882) "Théorie des Groupes Fuchsiens", Acta Mathematica v.1,p.1.First article in a legendary series exploiting half-plane model.On page 52 one can see an example of the semicircle diagrams so characteristic of the model.
  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
  • Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
  • Saul Stahl, The Poincaré Half-Plane, Jones and Bartlett, 1993, ISBN 0-86720-298-X.
  • John Stillwell (1998) Numbers and Geometry,pp.100-104, Springer-Verlag,NY ISBN 0-387-98289-2 .An elementary introduction to the Poincaré half-plane model of the hyperbolic plane.