庞加莱度量

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数学中,庞加莱度量Poincaré metric),以昂利·庞加莱命名,描述了一个常负曲率二维曲面的度量张量。它是双曲几何黎曼曲面中广为使用的自然度量。

在二维双曲几何中有三种广泛使用的等价表述。其中一个是庞加莱半平面模型,在上半平面上定义一个双曲空间模型。庞加莱圆盘模型单位圆盘上定义了一个双曲空间模型。圆盘与上半平面通过一个共形映射联系,等距莫比乌斯变换给出。第三个表述是在穿孔圆盘上,通常表示为与 q-类似Q-analog)的关系,这种形式不同于前两种。

黎曼曲面上的度量概要[编辑]

复平面上的度量可写成一般形式

ds^2=\lambda^2(z,\overline{z})\, dzd\overline{z}

这里 λ 是 z\overline{z} 的一个正函数。复平面上曲线 γ 的长度为

l(\gamma)=\int_\gamma \lambda(z,\overline{z})\, |dz| .

复平面上子集 M 之面积是

\mbox{Area}(M)=\int_M \lambda^2 (z,\overline{z})\,\frac{i}{2}dz \wedge d\overline{z},

这里 \wedge 是用于构造体积形式外积。度量的行列式等于 \lambda^4,故而行列式的平方根是 \lambda^2。复平面上的欧几里得体积形式为 dx\wedge dy,从而我们有

dz \wedge d\overline{z}=(dx+i\,dy)\wedge (dx-idy)= -2i\,dx\wedge dy.

函数 \Phi(z,\overline{z}) 称为度量的势能potential of the metric),如果

4\frac{\partial}{\partial z} 
\frac{\partial}{\partial \overline{z}} \Phi(z,\overline{z})=\lambda^2(z,\overline{z}).

拉普拉斯–贝尔特拉米算子

\Delta = \frac{4}{\lambda^2} 
\frac {\partial}{\partial z} 
\frac {\partial}{\partial \overline{z}}
= \frac{1}{\lambda^2} \left(
\frac {\partial^2}{\partial x^2} + 
\frac {\partial^2}{\partial y^2}
\right).

度量的高斯曲率

K=-\Delta \log \lambda ,

给出,这个曲率是里奇数量曲率的一半。

等距保持角度与弧长。在黎曼曲面上,等距与坐标变换等价:即拉普拉斯-贝尔特拉米算子与曲率在等距下不变。从而,比如设 S 是一个黎曼曲面带有度量 \lambda^2(z,\overline{z})\, dzd\overline{z}T 是带有度量 \mu^2(w,\overline{w})\, dw\,d\overline{w} 的黎曼曲面,则映射

f:S\to T\,

以及 f=w(z) 是等距当且仅当它是共形的以及

\mu^2(w,\overline{w}) \;
\frac {\partial w}{\partial z}
\frac {\partial \overline {w}} {\partial \overline {z}} = 
\lambda^2 (z, \overline {z}) .

在这里,映射为共形的也就是条件

w(z,\overline{z})=w(z),

\frac{\partial}{\partial \overline{z}} w(z) = 0.

庞加莱平面上的度量与体积元[编辑]

庞加莱半平面模型上半平面 H庞加莱度量张量

ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{y^2}=\frac{dzd\overline{z}}{y^2},

这里我们记 dz=dx+i\,dy。这个度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。这就是,如果我们记

z'=x'+iy'=\frac{az+b}{cz+d},

ad-bc=1,则我们可算得

x'=\frac{ac(x^2+y^2)+x(ad+bc)+bd}{|cz+d|^2},

y'=\frac{y}{|cz+d|^2},

无穷小变换为

dz'=\frac{dz}{(cz+d)^2},

从而

dz'd\overline{z}' = \frac{dz\,d\overline{z}}{|cz+d|^4}.

这样便清楚地表明度量张量在 SL(2,R) 的作用下不变。

不变体积元素

d\mu=\frac{dx\,dy}{y^2}.

z_1,z_2 \in \mathbb{H} 度量为

\rho(z_1,z_2)=2\tanh^{-1}\frac{|z_1-z_2|}{|z_1-\overline{z_2}|},
\rho(z_1,z_2)=\log\frac{|z_1-\overline{z_2}|+|z_1-z_2|}{|z_1-\overline{z_2}|-|z_1-z_2|}.


度量的另一个有用的形式是用交比给出。给定紧化复平面 \hat {\mathbb{C}} = \mathbb{C} \cup \infty 上任意四点 z_1,z_2,z_3z_4,交比定义为

(z_1,z_2; z_3,z_4) = 
\frac{(z_1-z_2)(z_3-z_4)}{(z_2-z_3)(z_4-z_1)}.

那么度量用交比表示为

 \rho(z_1,z_2)= \ln (z_1,z_2^\times ; z_2, z_1^\times).

这里 z_1^\timesz_2^\times 是端点,位于实数轴上,测地线连接 z_1z_2。这些点是有顺序的故 z_1 位于 z_1^\timesz_2 之间。

这个度量张量的测地线是在两个端点处垂直于实轴的圆弧(的一段),即端点位于实轴的上半圆周。

从平面到圆盘的共形映射[编辑]

上半平面可以共形地映到单位圆盘,用莫比乌斯变换

w=e^{i\phi}\frac{z-z_0}{z-\overline {z_0}} ,

这里单位圆盘上的点 w 对应于上半平面上的点 z。在这个映射中,常数 z0 可取上半平面上任何一点;这个点将映为圆盘的中心。实数轴 \Im z =0 映为单位圆盘的边界 |w|=1。实常数 \phi 将圆盘旋转任意一个角度。

典范映射是

w=\frac{iz+1}{z+i}

i 映为圆盘的中心,0 映为圆盘的最低点。

庞加莱圆盘上的度量与体积元素[编辑]

庞加莱圆盘模型里的庞加莱度量张量单位圆盘 U=\{z=x+iy:|z|=\sqrt{(x^2+y^2)} \leq 1 \} 上为

ds^2=\frac{dx^2+dy^2}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dz\,d\overline{z}}{(1-|z|^2)^2}.

体积形式为

d\mu=\frac{dx\,dy}{(1-(x^2+y^2))^2}=\frac{dx\,dy}{(1-|z|^2)^2}.

z_1,z_2 \in U 的庞加莱度量为

\rho(z_1,z_2)=2\tanh^{-1}\left|\frac{z_1-z_2}{1-z_1\overline{z_2}}\right| .

这个度量张量的测地线是在端点处正交于圆盘边界的圆弧。

穿孔圆盘模型[编辑]

穿孔圆盘坐标上的 J-不变量J-invariant);这是 nome 的一个函数。
庞加莱圆盘坐标上的 J-不变量;注意这个圆盘比文中给出的典范坐标旋转了90度。

第二个将上半平面映成圆盘q-映射

q=exp(i\pi\tau)

这里 qnomeNome),\tau半周期比例half-period ratio)。在上一节的记号中,\tau 是上半平面 \Im \tau >0 的坐标。这个映射映到穿孔圆盘,因为值 q=0 不在映射的中。

上半平面的庞加莱度量在 q-圆盘上诱导一个度量

ds^2=\frac{4}{|q|^2 (\log |q|^2)^2} dq d\overline{q},

度量的势能是

\Phi(q,\overline{q})=4 \log \log |q|^{-2}.

施瓦茨引理[编辑]

庞加莱度量在调和函数距离减小。这是施瓦茨引理的一个推广,称为施瓦茨-阿尔福斯-皮克定理Schwarz-Alhfors-Pick theorem)。

另见[编辑]

引用[编辑]

  • Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
  • Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X (See Section 2.3).
  • Svetlana Katok, Fuchsian Groups (1992), University of Chicago Press, Chicago ISBN 0-226-42583-5 (Provides a simple, easily readable introduction.)