庞加莱-霍普夫定理

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数学上,庞加莱-霍普夫(Poincaré-Hopf)定理(也称为庞加莱-霍普夫指标定理庞加莱-霍普夫指标公式,或霍普夫指标定理)是微分拓扑的重要定理。

定理:令 M微分流形。令 vM 上有孤立零点的向量场。若 M边界,则我们要求在边界上 v 指向边界的外法向。然后,我们有如下公式

\sum_i \mathrm{index}_v(x_i) = \chi(M)\,

其中,求和取遍 v 的孤立零点而 \chi(M)M欧拉示性数

定理由庞加莱在二维的情况证明,而后由霍普夫推广到高维。