度量

在数学中，度量（度規）或距离函数是定义在集合的元素之间的距离的函数。带有度量的集合叫做度量空间。度量引发在集合上的拓扑但不是所有拓扑都可以由度量生成。当一个拓扑空间有可以由度量来描述的拓扑的时候，我们称这个拓扑空间为可度量化的。

在微分几何中，单词“度量”也用来称呼只定义在向量空间上一种结构，它的更适合的术语是度量张量（或黎曼度量或伪黎曼度量）。

定义[编辑]

在集合 X 上的度量是函数 (叫做“距离函数”或简单的“距离”)

d : X × X → R

(这里的 R 是实数的集合)。对于所有 X 中的 x, y, z，要求这个函数满足如下条件:

d(x, y) ≥ 0 (非负性)
d(x, y) = 0 当且仅当 x = y (不可区分者的同一性。注意条件 1 和 2 一起产生正定性)
d(x, y) = d(y, x) (对称性)
d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (次加性 / 三角不等式)。

度量叫做超度量，如果它满足下列更强版本的三角不等式:

对于所有 M 中的 x, y, z，d(x, z) ≤ max(d(x, y), d(y, z))

X 上的度量 d 叫做内在度量，如果任何 X 中的两个点 x 和 y 可以被其长度任意接近于 d(x, y) 的曲线连接起来。

对于定义了加法 + : X × X → X 的集合，d 叫做平移不变度量，如果

d(x, y) = d(x + a, y + a)

对于所有 X 中的 x, y 和 a。

注意[编辑]

这些条件表达了关于距离概念的直觉想法。例如，在独特点之间的距离是正数的并且从 x 到 y 的距离同于从 y 到 x 的距离。三角不等式意味着在 x 和 z 之间的距离不大于从 x 到 y 接着从 y 到 z 的距离。欧几里得在他的著作中声称在两点之间最短距离是直线；这是他的几何中的三角不等式。

性质 1 (d(x, y) ≥ 0)可以从从性质 2 和 4 中得出，因而不必须单独要求。

例子[编辑]

离散度量: 如果 x = y 则 d(x,y) = 0，否则 d(x,y) = 1。
欧几里得度量是平移和旋转不变的。
曼哈顿度量是平移不变的。
更一般的，任何由范数(见后)引发的度量是平移不变的。
如果 (p_n)_n∈N 是定义(局部凸)拓扑向量空间 E 的半范数序列，则

$d(x,y)=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}$

是定义相同拓扑的度量。(你可以替代 $\frac{1}{2^n}$ 为任何严格正数的可总和序列 $(a_n)$ 。)

度量的等价性[编辑]

对于一个给定集合 X，两个度量 d₁ 和 d₂ 被称为拓扑等价的 (一致等价的)如果恒等映射

id: (X,d₁) → (X,d₂)

是同胚(一致同构)。

例如，如果 $d$ 是度量，则 $\min (d, 1)$ 和 ${d \over 1+d}$ 是等价于 $d$ 的度量。

参见度量空间的等价性。

向量空间上的度量[编辑]

给定一个赋范向量空间 (X,||.||) 我们可以定义一个 X 上的度量为

d(x,y):=||x-y||。

度量 d 被称为引发自范数 ||.||。

反过来如果在向量空间 X 上的度量 d 满足性质

d(x,y) = d(x+a,y+a) (平移不变性)
d(αx,αy) = |α|d(x,y) (均匀性)

则我们可以定义 X 上的范数为

||x||:=d(x,0)

类似的，半范数引发伪度量(见后)，均匀(homogeneous)平移不变伪度量引发半范数。

推广度量[编辑]

扩张值域[编辑]

某些作者允许距离函数 d 达到值 ∞ 就是说距离是在扩展的实数轴上的非负数。这种度量叫做“扩展度量”。所有扩展度量可以变换成有限度量使得度量空间关于所关心的拓扑(比如连续性或收敛)是等价的。这可以使用次加性单调递增有界函数完成，它在零处为零，比如 d'(x, y) = d(x, y) / (1 + d(x, y)) 或 d''(x, y) = min(1, d(x, y)))。

度量取值于 [0,∞) 的要求甚至可以宽松到让度量从其他有向集合取值。在这种情况下重新公式化公理导致了一致空间构造: 带有确使可比较于不同点的局部拓扑的抽象结构的拓扑空间。

宽松公理[编辑]

如果把第二个要求(不可区分性)宽松为条件 d(x,x)=0 对于所有 x，则距离函数叫做伪度量。这是最常见的对度量的一般化。在拓扑学中，半度量是满足前三个公理但不必然满足三角不等式的的函数。偶尔的，定义准度量为满足除了可能关于对称性有例外的所有公理的函数。有时还有它们的组合，其意自明。

这些概念不是完全标准化的。特别是，术语半度量有时用做伪度量的同义词(特别是在泛函分析中)。

不满足条件 2 不可区分者的同一性的一个例子是概率度量。

推广度量的重要情况[编辑]

从范畴论的角度看，扩展伪度量和扩展伪度量空间，与它们相应的非负映射一起，是度量空间范畴的最佳表现。你可以取得任何乘积和余乘积(coproduct)并形成在给定范畴内的商对象。如果去掉“扩展”，你只能取得有限乘积和余乘积。如果去掉“伪”，你不能取得商。逼近空间是保持这些良好范畴性质的推广的度量空间。

在微分几何中，考虑度量张量，它可以被认为是“无穷小”度量函数。它们被定义为在切空间上的内积，带有适当的可微性要求。尽管它们不是本文定义的度量函数，它们通过不定积分引发度量函数。带有度量张量的流形叫做黎曼流形。如果去掉内积空间的的正定性要求，则得到伪黎曼度量张量，它积分为伪半度量。它们用于相对论的几何研究中，这里的张量也叫做“不变距离”。

参见[编辑]

度量

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