度量张量

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黎曼幾何裡面,度量張量,物理学译为度規張量,是指一用來衡量度量空间中距離及角度的二階張量


當选定一個局域坐標系統x^i,度量張量可以矩陣表示,記作為Gg。而g_{ij}記號傳統地表示度量張量的協變分量(亦為「矩陣元素」)。以下我們用爱因斯坦求和约定來代表隐含的求和。

一小段弧線長度定义如下,其中参数定為t,t由a到b:

L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt

兩個切向量的夾角 \theta , U=u^i{\partial\over \partial x_i}V=v^i{\partial\over \partial x_i},定義為:


\cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j}
{\sqrt{ \left| g_{ij}u^iu^j \right| \left| g_{ij}v^iv^j \right|}}

欧几里得几何中,為流形光滑嵌入導入度量張量,由以下方程式計算得出:

G = J^T J

J 表示崁入的雅可比矩阵,它的轉置为J^T

例子[编辑]

歐幾里德幾何度量[编辑]

二維歐幾里德度量張量:

g_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}

弧線長度轉為熟悉微積分方程式:

L = \int_a^b \sqrt{ (dx^1)^2 + (dx^2)^2}

在其他坐標系統的歐氏度量:

极坐标系(x^1, x^2)=(r, \theta)

g_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (x^1)^2\end{bmatrix}

圓柱坐標系(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, z)

g_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

球坐標系(x^1, x^2, x^3)=(r, \phi, \theta)

g_{ij} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (x^1\sin x^2)^2\end{bmatrix}

平面闵可夫斯基空间(x^0, x^1, x^2, x^3)=(ct, x, y, z)\,

g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} \equiv \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

在一些習慣中,與上面相反地,時間ct的度規分量取正號而空間 (x,y,z)的度規分量取負號,故矩陣表示為:

g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu} \equiv \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix}

參看[编辑]