度量空间

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提示:本条目的主题不是测度空间

数学中,度量空间是一个集合,在其中可以定义在这个集合的元素之间的距离(叫做度量)的概念。

度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧几里得空间。事实上,“度量”的概念就是对从欧几里得距离的四个周知的性质引发的欧几里得度量的推广。欧几里得度量定义了在两个点之间的距离为连接它们的直线的长度。

空间的几何性质依赖于所选择的度量,通过使用不同的度量我们可以构造有趣的非欧几里得几何,比如在广义相对论中用到的几何。

度量空间还引发拓扑性质开集闭集,这导致了对更抽象的拓扑空间的研究。

历史[编辑]

莫里斯·弗雷歇在1906年于著作《Sur quelques points du calcul fonctionnel》, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22(1906) 1–74 中介入了度量空间。

定义[编辑]

度量空间二元组 (M,d),这里的 M集合d 是在 M 上的度量(metric),就是函数

d : M \times M \rightarrow \mathbb{R}

使得

  1. d(x, y) ≥ 0 (非负性)
  2. d(x, y) = 0 当且仅当 x = y (不可区分者的同一性)
  3. d(x, y) = d(y, x) (对称性)
  4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (三角不等式)。

函数 d 也叫做“距离函数”或简单的叫做“距离”。经常对度量空间省略 d 而只写 M,如果在上下文中可明确使用了什么度量。不要求第二、第三或第四个条件分别导致伪度量空间准度量空间半度量空间的概念。

第一个条件实际上可以从其他三个得出:

2d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x,x) = 0.

它做为度量空间的性质更恰当一些,但是很多课本都把它包括在定义中。

某些作者要求集合 M 非空。

作为拓扑空间的度量空间[编辑]

把度量空间处理为拓扑空间相容得几乎都成为定义的一部分了。

对于任何度量空间 M 中的点 x,我们定义半径 r (>0) 的关于 x开球为集合

B(x; r) = \{y \in M : d(x, y) < r\}

这些开球生成在 M 上的拓扑,使它成为拓扑空间。明显的,M 的子集被称为开集,如果它是(有限或无限多)开球的并集。开集的补集被称为闭集。以这种方式从度量空间引发的拓扑空间叫做可度量化空间;详情参见度量化定理

因为度量空间是拓扑空间,在度量空间之间有连续函数的概念。这个定义等价于平常的连续性的ε-δ定义(它不提及拓扑),并可以使用序列的极限直接定义。

完备度量空间[编辑]

度量空间 X 被称为完备的,如果所有柯西序列收敛于 X 中。就是说 d(x_n, x_m) \to 0 蕴涵有某个 y 使得 d(x_n, y) \to 0

拓扑性质[编辑]

所有度量空间都是:

其他拓扑性质在度量空间变成等价的。特别是

度量空间的例子[编辑]

  • 实数带有由绝对值给出的距离函数 d(x, y) = |yx|,和更一般的欧几里得 n 维空间带有欧几里得距离完备度量空间。
  • 有理数带有同样的距离函数也是度量空间,但不是完备空间。
  • 双曲空间
  • 任何赋范向量空间通过定义 d(x, y) = ||yx|| 也是度量空间。(如果这样一个空间是完备的,我们称之为巴拿赫空间)。例如:
  • 离散度量,这里的 d(x,y)=1 对于所有不等于 yxd(x,y)=0 在其他情况,是简单但重要的例子,并可以适用于任何非空集合。特别是证明了对于任何非空集合,总是有一个度量空间与之关联。
  • 赋范向量空间上的不列颠铁路度量(也叫做邮局度量或SNCF度量),给出自 d(x, y) = ||x|| + ||y|| 对于独特的点 xy,和 d(x, x) = 0。更一般的说 ||.|| 可以被替代为从任何集合 S 到非负实数的最多取值 0 一次的函数 f: 接着在 S 上的度量定义为 d(x, y)=f(x)+f(y) 对于独特的点 xy,和 d(x, x) = 0。这个名字影射在伦敦(或巴黎)的铁路(信件)的行程与最终目的地无关的趋势。
  • 如果 X 是某个集合而 M 是度量空间,则所有有界函数 f : XM 的集合(就是说这些函数的像是 M有界子集)可以变成度量空间,通过定义 d(f, g) = \sup_{x \in X}d(f(x), g(x)) 对于所有有界函数 fg。如果 M 是完备的,则这个空间也是完备的。
  • Levenshtein距离也叫做编辑距离,是在两个字符串 uv 之间的对相异性的测量。这个距离是从 u 变换成 v 所需要的字符删除、插入或替换的极小次数。
  • 如果 X拓扑空间(或度量空间)而 M 是度量空间,则所有从 XM 的有界连续函数形成了一个度量空间,如果定义度量为上述的: d(f, g) = \sup_{x \in X}d(f(x), g(x)) 对于任何有界连续函数 fg。如果 M 是完备的,则这个空间也是完备的。
  • 如果 M连通黎曼流形,则通过把在两点之间的距离定义为连接它们的路径(连续可区分的曲线)的长度的下确界而把 M 变成度量空间。
  • 如果 G无向连通图,则 G 的顶点集合 V 可变成度量空间,通过定义 d(x, y) 为连接 xy 的最短路径的长度。
  • 类似的(排除了数学细节):
    • 对于任何道路和地形系统,在两个位置之间的距离可以定义为最短路程的长度。要成为度量空间就不应有单向道路。例子包括上面提及的: 曼哈顿范数,不列颠铁路度量和棋盘距离。
    • 更一般的说,对于任何道路和地形系统,给出在任何位置的极大可能速度,在任何两个位置之间的“距离”可以定义为最快路程所耗的时间。要成为度量就不能有单向道路,并且极大速度不能依赖于方向。可以把 AB 的导向,不必然是唯一的,定义为最短路程的导向。
  • 类似的,在 3D 中在多面体的表面上的度量包括平常的度量,在表面上的距离;在多面体的边上第三个度量是路径为边的度量。例如,在单位立方体相对顶点之间的距离分别是 √3、√5 和 3。
  • 如果 M 是度量空间,我们把 M 的所有紧致子集的集合 K(M) 变成度量空间,通过定义豪斯多夫距离 d(X, Y) = inf{r : 对于所有 X 中的 x 存在 Y 中的 y 使得 d(x, y) < r, 并且对于所有 Y 中的 y 存在 X 中的 x 使得 d(x, y) < r)}。在这个度量中,两个元素是相互邻近的,如果一个集合的所有元素邻近于另一个集合某个元素。可以证明 K(M) 是完备的如果 M 是完备的。
  • 所有紧致度量空间(的等距类)的集合形成了关于Gromov-豪斯多夫距离的度量空间。
  • 给定度量空间 (X,d) 和递增凹函数 f:[0,∞)→[0,∞) 使得 f(x)=0 当且仅当 x=0,则 f o d 也是 X 上的度量。
  • 给定从任何集合 A 到度量空间 (X,d) 的单射函数 fd(f(x), f(y)) 定义了在 A 上的度量。
  • 使用T-理论,度量空间的紧跨越(tight span)也是度量空间。紧跨越在多种类型的分析中都有用处。
  • 在有限域上的所有 n×m 矩阵的集合是关于距离 d(X,Y) = rank(Y-X) 的度量空间。

度量空间等价性的概念[编辑]

比较两个度量空间可以区分出不同程度的等价性。要至少保持由这个度量引发的拓扑结构,这至少要求在它们之间的连续函数(保持度量空间的拓扑的态射)的存在性。

给定两个度量空间 (M1, d1) 和 (M2, d2):

  • 它们叫做同胚(拓扑同构)的,如果存在它们之间的同胚(就是在两个方向上连续的双射函数)。
  • 它们叫做一致等距同构的,如果存在它们之间一致同构(就是在两个方向上一致连续的双射)。
  • 它们叫做相似的,如果存在正常数 k > 0 和叫做相似的双射函数 f,使得 f : M1M2 并且 d2(f(x), f(y)) = k d1(x, y) 对于所有 M1 中的 x, y
  • 它们叫做等距同构的,如果存在它们之间的双向等距同构。在这种情况下,两个空间是本质上同一的。等距同构是函数 f : M1M2 保持了距离: d2(f(x), f(y)) = d1(x, y) 对于所有 M1 中的 x, y。等距同构必然是单射的。
  • 它们叫做(第二类)相似的,如果存在叫相似的双射函数 f,使得 f : M1M2 并且 d2(f(x), f(y)) = d2(f(u), f(v)) 当且仅当 d1(x, y) = d1(u, v) 对于所有 M1 中的 x, y,u, v

在有平常度量的欧几里得空间的情况下,这两个相似性的概念是等价的。

有界性和紧致性[编辑]

度量空间 M 被称为有界的,如果存在某个数 r,使得对于所有 M 中的 xyd(x,y) ≤ r。最小的可能的这种 r 叫做 M直径。空间 M 叫做预紧致的或完全有界的,如果对于所有 r > 0 存在有限多个半径 r 的开球它们的并集覆盖 M。因为这些球的中心的集合是有限的,它有有限半径,从而得出(使用三角不等式)所有完全有界空间是有界的。但逆命题不成立,因为任何无限集合可以用离散度量(上面第一个例子)给出,在其下它是有界但非完全有界的。对度量空间的紧致性的有用特征化为,一个度量空间是紧致的,当且仅当它是完备的并且是完全有界。这叫做海涅-博雷尔定理。注意紧致性只依赖于拓扑,而有界性依赖于度量。

注意在实数空间的区间和偶尔在欧几里得空间 Rn 的区域的上下文中,有界集合被称为“有限区间”或“有限区域”。但是有界性一般不应该混淆于“有限”,它提及元素的数目,而不是这个集合延展得有多远;有限性蕴涵有界性但反之不然。

在度量空间中,序列紧致性,可数紧致性和紧致性都是等价的。

由于度量的限制,度量空间的任何子集自身是一个度量空间(子空间),带有拓扑限制于这个集合。我们称这个子集是完备的、有界的、完全有界的或紧致的,如果被当作度量空间它有对应的性质。完备度量空间的所有闭子空间都是完备的,度量空间的所有完备子空间是闭合的。但是度量空间的闭子空间不必须是完备的。

局部緊緻性和常態性[编辑]

度量空間M稱為局部緊緻的,如果每一點都有一個緊緻鄰域

度量空間M稱為常態(proper)的,如果每個都是緊緻的。這條件等價於對每一點p,距離函數d_p(x):=d(x,p)都是常態映射,因為閉球\overline{B(p,r)}是緊緻區間[0,r]在d_p下的原像

常態度量空間是完備和局部緊緻的,但局部緊緻空間未必是常態的。

分离性质和连续函数的扩张[编辑]

度量空间是仿紧致[1]豪斯多夫空间[2],因此是正规空间(实际上是完美正规的)。一个重要结论是所有度量空间容许单位划分,并且所有定义在度量空间的闭子集上的连续实数值函数都可以被扩张为在整个空间上的连续映射(Tietze扩张定理)。所有定义在度量空间的子集上的实数值利普希茨连续映射可以扩张为在整个空间上利普希茨连续映射。

在点和集合之间的距离[编辑]

构造分离一个点与一个闭集的函数(作为完全正则空间的要求)的简单方式是考虑点和集合之间的距离。 如果 (M,d) 是度量空间,SM子集xM 的点,我们定义从 xS 的距离为

d(x,S) = inf {d(x,s) : sS}

d(x, S) = 0,当且仅当 x 属于 S闭包。进一步的,我们有对三角不等式的如下推广:

d(x,S) ≤ d(x,y) + d(y,S)

特别是它证实了映射 x\mapsto d(x,S) 是连续的。

乘积度量空间和赋范乘积度量[编辑]

下列构造值得记住:

如果 (M_1,d_1),\ldots,(M_n,d_n) 是度量空间,而 N 是在 Rn 上的欧几里得范数,则

\Big(M_1\times \ldots \times M_n, N(d_1,\ldots,d_n)\Big) 是度量空间,这里的赋范乘积度量定义为

N(d_1,...,d_n)\Big((x_1,\ldots,x_n),(y_1,\ldots,y_n)\Big) = N\Big(d_1(x_1,y_1),\ldots,d_n(x_n,y_n)\Big) ,

而引发的拓扑符合于乘积拓扑

类似的,度量空间的可数乘积可以用如下度量获得

d(x,y)=\sum_{i=1}^\infty \frac1{2^i}d_i(x_i,y_i).

距离的连续性[编辑]

下面情况值得注意,在单独空间 (M,d) 中,距离映射 d:M\times M \rightarrow R^+ (来自定义)关于任何赋范乘积度量 N(d,d) 是一致连续的(并且特别的,关于 M\times M 的乘积拓扑是连续的)。

商度量空间[编辑]

如果 M 是度量空间带有度量 d,而 ~M 上的等价关系,则我们可以赋予商集 M/~ 以下列(伪)度量。给定两个等价类 [x] 和 [y],我们可以定义

d'([x],[y]) = \inf\{d(p_1,q_1)+d(p_2,q_2)+...+d(p_{n},q_{n})\}

这里的下确界取值在所有有限序列 (p_1, p_2, \dots, p_n)(q_1, q_2, \dots, q_n) 上,带有 [p_1]=[x], [q_n]=[y], [q_i]=[p_{i+1}], i=1,2,\dots n-1。一般的说这只定义了伪度量,就是说 d'([x],[y])=0 不必然蕴涵 [x]=[y]。但是对于良好的等价类(比如,多面体沿着面粘合所给出的),它是度量。此外如果 M紧致空间,则引发的 M/~ 上的拓扑是商拓扑

商度量 d 刻画为如下泛性质。如果 f:(M,d)\longrightarrow(X,\delta) 是在度量空间之间的度量映射(就是说 \delta(f(x),f(y))\le d(x,y) 对于所有 x, y)满足 f(x)=f(y) 只要 x\sim y,,则引发的函数 \overline{f}:M/\sim\longrightarrow X,给出自 \overline{f}([x])=f(x),是度量映射 \overline{f}:(M/\sim,d')\longrightarrow (X,\delta)

参见[编辑]

引用[编辑]

  1. ^ Rudin, Mary Ellen. A new proof that metric spaces are paracompact. Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 20, No. 2. (Feb., 1969), p. 603.
  2. ^ PlanetMathmetric spaces are Hausdorff的資料。

外部链接[编辑]