康威多面體表示法

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此圖顯示了從立方體上的三種康威多面體表示運算,可產生11種新的多面體。新的多面體投影在正方體上一顯示其拓撲變化,以便更清楚。頂點都標有圓圈的所有形式。

康威多面體表示法是用來描述多面體的一種方法。 一般是用種子多面體(seed)為基礎並標示對種子多面體做的操作或運算

種子多面體一般都為正多面體正多邊形密鋪,表示的字母則取他們名字的第一個字母,例如:

另外柱體和錐體也可以作為種子,並以它是底面邊數加一個字母表示:

例如種子“P5”是指五角柱、“P817”是指817角柱、“Y6”是指六角錐、“J86”是指球形屋根、“A86”是指反86角柱。

任何凸多面體皆可以當作種子,前提是它可以執行操作或運算

何頓·康威提出這個想法, 就像Kepler的截角定義,建立相關的多面體相同的對稱性。 它的多面體表示法能從正多面體種子表示所有阿基米德立體半正多面體卡塔蘭立體。 在一系列的應用中,康威多面體表示法可以產生許多高階多面體。

多面體的運算[编辑]

下面列出康威多面體表示法中,多面體的運算符號,那些運算通常類似幾何變換,並以 (v,e,f) 表示進行該運算或操作後多面體的變化。

運算符 運算符號名稱 英文名 替代 頂點 說明
種子 Seed v e f 種子
r 鏡射
(手性)
Reflect
(Hart)
v e f 產生手性鏡像
d 對偶 dual f e v 產生對偶多面體-每個頂點創建一個新的面,或面的重心當作新的頂點。
a 截半 ambo e 2e 2 + e 邊是新的頂點,舊的頂點消失,或將邊的中點當作新的頂點。 (rectify)
j 加入錐體
(相鄰共面)
join da e + 2 2e e 每個面都加入上當高的錐體,使相鄰面的錐體各有一面互相共面.
t 截角 truncate dkd 2e 3e e + 2 截去所有頂點
-- 雙截角 dk 2e 3e e + 2 截去頂點,截到原邊完全消失,但還保留與原始面相似的小面。 (bitruncation)
-- 稜提高 kd e + 2 3e 2e 將稜中點和面的重心提高至外接球的點作為新頂點,舊頂點消失。Kis of dual
k 加入錐體
(到外接球)
kis dtd e + 2 3e 2e 每個面都加入角錐.
c 倒角 chamfer e + v 4e 2e + f 將邊用六邊形取代.
- - - dc 2e + f 4e e + v
e 擴展 expand aa 2e 4e 2e + 2 在每個頂點建立新的面,並在各邊建立四邊形。. (cantellate)
o 正交 ortho de 2e + 2 4e 2e 每個n邊形面被分割成n個四邊形。
p 旋轉
(Hart)
propellor
(Hart)
v + 2e 4e e + f 將面旋轉,並在頂點建立四邊形 (self-dual)
- - - dp e + f 4e v + 2e 建立四邊形頂點的旋轉操作。這個運算的對偶是本身: dpX=pdX.
s 扭稜 snub dg 2e 5e 3e + 2 “擴大和扭曲” - 每個頂點創建一個面,每條邊創建了兩個新的三角形
g 陀螺 gyro ds 3e + 2 5e 2e 每個n邊形面被切割成n個五邊形。
b 大斜方 bevel ta 4e 6e 2e + 2 加入新的面代替邊和頂點, Omnitruncation (在高維多胞體稱為cantitruncation).
m meta db & kj 2e + 2 6e 4e 將n邊形的面切割成2n個三角形
n 只做
n邊形
- 填數字 - - - 對t、k兩種操作,將阿拉伯數字寫在操作名稱後面,可指對指定的多邊形面進行操作

這些運算符號的運算優先順序皆為由右至左。例如:

所有的操作都保有對稱性,除了s和g是扭曲的像並失去了鏡射對稱。

例子[编辑]

正方體
"seed"
截半
(rectify)
截角 雙截角 擴展
(cantellate)
大斜方
(omnitruncate)
扭稜
Uniform polyhedron-43-t0.png
C
Uniform polyhedron-43-t1.png
aC = djC
Uniform polyhedron-43-t01.png
tC = dkdC
Uniform polyhedron-43-t12.png
tdC = dkC
Uniform polyhedron-43-t02.png
eC = aaC = doC
Uniform polyhedron-43-t012.png
bC = taC = dmC = dkjC
Uniform polyhedron-43-s012.png
sC = dgC
對偶 加入錐體
(相鄰共面)
加入錐體
(到外接球)
正交
(edge-bisect)

(full-bisect)
陀螺
Uniform polyhedron-43-t2.png
dC
Rhombicdodecahedron.jpg
jC = daC
Triakisoctahedron.jpg
kdC = dtC
Tetrakishexahedron.jpg
kC = dtdC
Deltoidalicositetrahedron.jpg
oC = deC = daaC
Disdyakisdodecahedron.jpg
mC = dbC = kjC
Pentagonalicositetrahedronccw.jpg
gC = dsC

生成標準種子[编辑]

所有的五個正多面體皆可以從棱柱種子經過零至兩個運算或操作而產生:

康威的符號擴展[编辑]

上述的運算和操作可以從正多面體種子或柱體錐體的種子產生所有的半正多面體卡塔蘭立體柏拉圖立體阿基米德立體。 許多多面體都可由高階的組合操作還表示,但是某些特別的多面體需要更多的符號來表示。

例如,幾何藝術家George W. Hart定義他的操作稱為"propellor",和另一個反映創建鏡像圖像的旋轉形式"reflect"。

  • p – "propellor" (旋轉建立四邊形於頂點). 這個操作的對偶多面體是本身: dpX=pdX.
  • r – "reflect" – 對種子進行鏡射變換.一般沒已影響,除非有sg的種子

詹森多面體擴展[编辑]

為了表達詹森多面體,諾曼·詹森也定義了一些符號來表達它的多面體[1]

  • 下列種子都必須要在後面加註邊數:
    • P = 柱體 (Prism)
    • A = 反稜柱 (Antiprism)
    • Y = 錐體 (Pyramid)
    • Q = 帳塔
    • R = 罩帳
    • L = 三面單元組成一個正方形和對立的三角形
    • U = n邊形,旁邊有三角形交替的邊。
    • J = 直接表示詹森多面體,但沒甚麼意義
  • 擴展的符號:
    • + = 將符號後的種子加到符號前的種子之適當的面,可省略
    • - = 在符號前的種子上照到跟符號後種子相同的部分並切除之
    • × = 將符號前動作做符號後的次數次,符號後必為常數,可省略
    • () = 將種子括號並指定動作
  • 例如:

其它的擴展[编辑]

下面擴展符號也可以用於康威多面體表示法,但是在施萊夫利符號中,更為常用。

  • t0,1 = 截角
  • t0,2 = 截邊:小斜方截半
  • t0,1,2 = 截邊再截角:大斜方截半
  • t0,3 = 截面:向下鋸齒(Runcination) : 切割多面體,同時沿面、邊和頂點,建立新的面代替原來的面、邊和頂點中心。
  • t0,1,3 = 截面再截角
  • t0,2,3 = 截面再截邊
  • t0,1,2,3 = 截面再截邊再截角
  • t0,4 = 截胞 : 切割多胞體,同時沿胞、面、邊和頂點,建立新的胞代替原來的胞、面、邊和頂點中心。
  • t1 = 截半
  • t1,2 = 截半再截邊:雙截角
  • t2
  • h = 交替 alternate

例如:

幾何座標的衍生形式[编辑]

密鋪[编辑]

例如: 球面正五邊形密鋪:正十二面體種子 (D)
Uniform tiling 532-t0.png
D
Uniform tiling 532-t01.png
tD
Uniform tiling 532-t1.png
aD
Uniform tiling 532-t12.png
tdD
Uniform tiling 532-t02.png
eD
Uniform tiling 532-t012.png
teD
Spherical snub dodecahedron.png
sD
Uniform tiling 532-t2.png
dD
Icosahedral reflection domains.png
dteD
例如:歐幾里得平面正六邊形密鋪種子 (H)
Uniform tiling 63-t0.png
H
Uniform tiling 63-t01.png
tH
Uniform tiling 63-t1.png
aH
Uniform tiling 63-t12.png
tdH = H
Uniform tiling 63-t02.png
eH
Uniform tiling 63-t012.png
teH
Uniform tiling 63-snub.png
sH
Uniform tiling 63-t2.png
dH
Tiling Dual Semiregular V3-12-12 Triakis Triangular.svg
dtH
Tiling Dual Semiregular V3-6-3-6 Quasiregular Rhombic.svg
daH
Uniform tiling 63-t2.png
dtdH = dH
Tiling Dual Semiregular V3-4-6-4 Deltoidal Trihexagonal.svg
deH
Tiling Dual Semiregular V4-6-12 Bisected Hexagonal.svg
dteH
Tiling Dual Semiregular V3-3-3-3-6 Floret Pentagonal.svg
dsH
例如: 雙曲面正七邊形密鋪 種子 ( {7,3} )
{7,3}
"seed"
truncate ambo
(rectify)
bitruncate expand
(cantellate)
bevel
(omnitruncate)
snub
Uniform tiling 73-t0.png
{7,3}
Uniform tiling 73-t01.png
t{7,3}
Uniform tiling 73-t1.png
a{7,3}
Uniform tiling 73-t12.png
dk{7,3}
Uniform tiling 73-t02.png
e{7,3}
Uniform tiling 73-t012.png
b{7,3}
Uniform tiling 73-snub.png
s{7,3}
dual join kis
(vertex-bisect)
ortho
(edge-bisect)
meta
(full-bisect)
gyro
Uniform tiling 73-t2.png
d{7,3}
Ord7 triakis triang til.png
dt{7,3}
Order73 qreg rhombic til.png
j{7,3}
Order3 heptakis heptagonal til.png
k{7,3}
Deltoidal triheptagonal til.png
o{7,3}
Order-3 heptakis heptagonal tiling.png
m{7,3}
Ord7 3 floret penta til.png
g{7,3}
例如: 三維空間正方體密鋪 種子 ( {4,3,8} )
{4,3,8}
"seed"
truncate ambo
(rectify)
bitruncate expand
(cantellate)
bevel
(omnitruncate)
snub
HC-P2.png
{4,3,8}
HC A2-P3.png
t{4,3,8}
HC A3-P3.png
a{4,3,8}
Truncated octahedra.jpg
dk{4,3,8}
HC A5-A3-P2.png
e{4,3,8}
HC A6-A2-A1.png
b{4,3,8}
HC A6-Pr8.png
s{4,3,8}
dual join
HC-P2.png
d{4,3,8}
Tetrahedral-octahedral honeycomb.png
dt{4,3,8}
TetraOctaHoneycomb-VertexConfig.svg
j{4,3,8}

幾何體[编辑]

例如: 透明的 正四面體 種子 (T)
Tetrahedron.jpg
T
Truncatedtetrahedron.jpg
tT
Octahedron.svg
aT
Truncatedtetrahedron.jpg
tdT
Cuboctahedron.jpg
eT
Truncatedoctahedron.jpg
bT
Icosahedron.jpg
sT
Tetrahedron.jpg
dT
Triakistetrahedron.jpg
dtT
Hexahedron.jpg
jT
Triakistetrahedron.jpg
kT
Rhombicdodecahedron.jpg
oT
Tetrakishexahedron.jpg
mT
Dodecahedron.jpg
gT
例如: 四維空間的 正八胞體 種子 ( {4,3,3} )
Schlegel wireframe 8-cell.png
{4,3,3}
Schlegel half-solid truncated tesseract.png
t{4,3,3}
Schlegel half-solid rectified 8-cell.png
a{4,3,3}
Schlegel half-solid bitruncated 8-cell.png
td{4,3,3}
Schlegel half-solid cantellated 8-cell.png
e{4,3,3}
Cantitruncated tesseract stella4d.png
b{4,3,3}
Schlegel half-solid omnitruncated 8-cell.png
s{4,3,3}
Schlegel wireframe 16-cell.png
d{4,3,3}

其他多面體[编辑]

迭代簡單簡單操作的形式,可以產生更大的多面體,並保持基本對稱性。頂點被假設是對相同半徑的球面。

四面體對稱[编辑]

八面體對稱[编辑]

二十面體對稱[编辑]

菱形[编辑]

三角形[编辑]

對偶[编辑]

手性[编辑]

手性對偶[编辑]

參見[编辑]

外部链接和参考文獻[编辑]