康托尔函数

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索
区间[0,1]上的康托尔函数

在数学中,以数学家格奥尔格·康托尔命名的康托尔函数,是一个一致连续,却不绝对连续函数

定义[编辑]

康托尔函数 c : [0,1] → [0,1] ,对于x∈[0,1],其函数值c(x)可由以下步骤得到:

  1. 以三进制表示x。
  2. 如果x中有数字1,就将第一个1之后的所有数字换成0。
  3. 将所有数字2换成数字1。
  4. 以二进制读取转换之后的数,这个数即为c(x)。

例如:

  • 1/4以三进制表示为0.020202...,其中并没有1,因此经过第二步仍然是0.020202...,第三步转换为0.010101...,将其视为二进制,则为1/3,因此c(1/4)=1/3。
  • 1/5以三进制表示为0.01210121...,第二步转换为0.01,由于其中没有2,因此经过第三步后仍是0.01,视为二进制则为1/4,因此c(1/5)=1/4。
  • 200/243以三进制表示为0.21102(即0.2110122222...),第二步转换为0.21,第三步转换为0.11,视为二进制则为3/4,因此c(200/243)=3/4。


其它定义[编辑]

性质构造[编辑]

若在[0, 1]上定义的f(x)满足下列四个条件,则f(x)即为康托尔函数[1]

  1. \forall 0 \le x < y \le 1,f(x) \le f(y)
  2. f(0)=0
  3. f(\frac{1}{3} x)=\frac{1}{2} f(x)
  4. f(1-x)=1-f(x)

迭代构造[编辑]

Cantor function sequence.png

下面我们构造一个函数序列{ƒn},这个序列将收敛于康托尔函数: 首先定义

f_0(x) = x

接下来,对于每个正整数n,函数ƒn+1(x)都由函数ƒn(x)定义:

f_{n+1}(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{2} \times f_n(3x) &\mbox{if } 0 \le x < \frac{1}{3} \\
\frac{1}{2} &\mbox{if } \frac{1}{3} \le x < \frac{2}{3} \\
\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \times f_n(3x - 2) &\mbox{if } \frac{2}{3} \le x \le 1
\end{cases}

检查 ƒn 是否每个点都收敛于之前定义的康托尔函数,我们可以发现,

\max_{x \in [0, 1]} |f_{n+1}(x) - f_n(x)| \le \frac 1 2 \, \max_{x \in [0, 1]} |f_{n}(x) - f_{n-1}(x)|, \quad n \ge 1.

ƒ 是极限函数, 那么对于任意非负整数n都有,

\max_{x \in [0, 1]} |f(x) - f_n(x)| \le 2^{-n+1} \, \max_{x \in [0, 1]} |f_1(x) - f_0(x)|.

另外可以注意到只要满足0(0) = 0, ƒ0(1) = 1 且 ƒ0 有界,起始函数ƒn具体是什么函数并不重要。

注释[编辑]

  1. ^ http://mathworld.wolfram.com/CantorFunction.html ;Chalice 1991; Wagon 2000, p. 132