康托尔悖论

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数学中,康托尔悖论集合论的一个定理,即没有最大的基数,所以“无限大小”的搜集自身是无限的。进一步的,从这个事实得出这个搜集不是集合而是真类;在 von Neumann-Bernays-Gödel 集合论中从这个事实得出大小限制公理,即这个真类和所有集合的集合之間存在雙射。所以,不只是有无限多个无限,而是这个无限大于无限的任何枚举。

这个悖论以德國數學家格奥尔格·康托尔命名,他在1899年(或在1895年到1897年之间)首先提出了它。像多数数学悖论一样,它实际上不是矛盾,而是在关于无限本质和集合概念的情况下错误直觉的体现。换个方式说,它在朴素集合论中的确是悖论,從而证实了这个理论对数学發展的需要是不充足的。在其後的各個公理化集合論中,這個悖論已經被解決。

陈述和证明[编辑]

为了陈述这个悖论必须理解容许排序的基数,因此你可以谈论一个事物大于或小于另一个。则康托尔悖论是:

定理:没有最大的基数。

这个事实上是康托尔定理的直接结论,該定理的內容是关于一个集合的幂集的势。

证明: 假定相反情况,并设 C 为最大基数。则(在冯·诺伊曼基数指派中)C 是一个集合因此有幂集 2C,通过康托尔定理,它有严格的大于 C 的势。但根據定义 C 的势已經是最大的了,所以得出矛盾。因此,不存在最大的基数。

参见 A. Garciadiego 的《BERTRAND RUSSELL AND THE ORIGINS OF THE SET-THEORETIC 'PARADOXES》,其中包括了这不是悖论和康拖尔不认为这是悖论的有關探討。

讨论和结论[编辑]

因为基数是通过序数标定(indexing)而是良序的,(参见基数#定义),这也确立了没有最大序数;反过来,后者陈述蕴涵了康托尔悖论。通过应用这个标定到布拉利-福尔蒂悖论,我们还總結出基数们是真类而不是集合,而(至少在 von Neumann-Bernays-Gödel 集合论中)由此可知,存在基数的类和所有集合的类之间的双射。因为所有集合是后者这个类的的子集,而所有势都是一个集合的势(根據定义),直觉上這就是說基数的搜集的“势”大于任何集合的势:它比任何真无穷更加无穷。这是康托尔悖论的悖论本质。

历史注释[编辑]

尽管通常认定康托尔是第一个提出基数集合的这个性质的人,有些数学家认為这个贡献是伯兰特·罗素做出的,他在1899年或1901年定义了类似的定理。

参见[编辑]

參考文獻[编辑]

  • Anellis, I.H. Drucker, Thomas, 编. "The first Russell paradox," Perspectives on the History of Mathematical Logic. Cambridge, Mass.: Birkäuser Boston. 1991: 33–46. 
  • Moore, G.H. and Garciadiego, A. Burali-Forti's paradox: a reappraisal of its origins. Historia Math: 319–350. 

外部链接[编辑]