廣義力

廣義力是拉格朗日力學裏面的一個基本概念。在一個物理系統裏，因為力 $\mathbf{F}\,\!$ ，一個粒子經過虛位移 $\delta \mathbf{r}\,\!$ ，所作的虛功 $\delta W\,\!$ 是

$\delta W = \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r}\,\!$ 。

轉換至廣義坐標 $q_1,\ q_2,\ q_3,\ \dots\ q_N\,\!$ ，

$\delta W = \sum_{j=1}^N\ \mathbf{F} \cdot \frac {\partial \mathbf{r}}{\partial q_j} \delta q_j\,\!$ 。

在上面这个方程的右端，位于虚位移前面的这两项的整体即为廣義力，用$\boldsymbol{\mathcal{F}}\,\!$表示为：

$\mathcal{F}_j= \mathbf{F} \cdot \frac {\partial \mathbf{r}}{\partial q_j}\,\!$ 。

虛功與廣義力的關係是

$\delta W = \sum_{j=1}^N\ \mathcal{F}_j\delta q_j\,\!$ 。

稱 $\mathcal{F}_j\,\!$ 為關於廣義坐標 $q_j\,\!$ 的廣義力。因為 $\mathcal{F}_j q_j\,\!$ 的量綱是功，如果 $q_j\,\!$ 是距離，則 $\mathcal{F}_j\,\!$ 與力的量綱相同；如果 $q_j\,\!$ 是角，則它與力矩的量綱相同。

參閱

• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 自由度
• 虛功