廣義坐標

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廣義坐標是不特定的坐標。假若,我們用一組廣義坐標來導引方程式,所得到的答案,可以應用於較廣泛的問題;并且,當我們最後終於設定這坐標時,答案仍舊是正確的[1]拉格朗日力學哈密頓力學都需要用到廣義坐標來表示基要概念與方程式。

獨立的廣義坐標[编辑]

當分析有的問題時(尤其是当有许多约束条件的时候),最好盡量選擇獨立的廣義坐標。因為,這樣可以減少代表約束的變數。但是,當遇到非完整約束時,或者當計算約束力時,就必須使用關於這約束力的,相依的廣義坐標。

在三維空間裏,假設一個物理系統擁有n\,\!顆粒子;那麼,這系統的自由度3n\,\!。再假設這系統有h\,\!完整約束;那麼,這系統的自由度變為m=3n - h\,\!。必須用m\,\!個獨立廣義坐標(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m)\,\!與時間t\,\!來完全描述這系統的運動。坐標的轉換方程式可以表示如下:

\mathbf{r}_i=\mathbf{r}_i(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad(i=1,\ 2,\ \dots n\,\!)

雖然我們可能會遇到複雜的系統時,這轉換方程式具有足夠的靈活性來選擇最合適的坐標。在思考虛位移廣義力時,這轉換方程式也可以用來建造微分。

實例[编辑]

雙擺

一個複擺,被約束地移動於一垂直平面,可以用四個直角坐標\lbrace x_1,\ y_1,\ x_2,\ y_2\rbrace\,\!來描述。但是,這系統的自由度是2;我們可以用兩個廣義坐標來更精簡地描述這雙擺運動:

\lbrace q_1,\ q_2 \rbrace = \lbrace\theta_1,\ \theta_2 \rbrace\,\!

這裏,

\lbrace x_1,\ y_1 \rbrace = \lbrace l_1\sin\theta_1,\ l_1\cos\theta_1 \rbrace\,\!
\lbrace x_2,\ y_2 \rbrace = \lbrace l_1\sin\theta_1+l_2\sin\theta_2,\    l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_2 \rbrace\,\!

一粒珠子,被約束地移動在一條穿過它的鐵絲上,自由度是1。它的運動可以用一個廣義坐標來描述

q_1= s\,\!

這裏,s\,\!是珠子離鐵絲上一個參考點的徑長。這三維空間運動已被減縮為一維空間運動了。

一個物體,被約束在一個表面上,自由度是2;雖然它的運動也是嵌在三維空間裏。如果這表面是球表面,一個很好的選擇是

\lbrace q_1,\ q_2 \rbrace = \lbrace \theta,\ \phi \rbrace \,\!

這裏,\theta\,\!\phi\,\!球坐標系的角坐標。因為r\,\!坐標是常數,可以被忽略掉。

參閱[编辑]

參考文獻[编辑]

  1. ^ Torby, Bruce. Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. 1984: pp. 259. ISBN 0-03-063366-4 (English).