廣義坐標

廣義坐標是不特定的坐標。假若，我們用一組廣義坐標來導引方程式，所得到的答案，可以應用於較廣泛的問題；并且，當我們最後終於設定這坐標時，答案仍舊是正確的。拉格朗日力學，哈密頓力學都需要用到廣義坐標來表示基要概念與方程式。

獨立的廣義坐標

當分析有的問題時（尤其是当有许多约束条件的时候），最好盡量選擇獨立的廣義坐標。因為，這樣可以減少代表約束的變數。但是，當遇到非完整約束時，或者當計算約束力時，就必須使用關於這約束力的，相依的廣義坐標。

在三維空間裏，假設一個物理系統擁有 $n\,\!$ 顆粒子；那麼，這系統的自由度是 $3n\,\!$ 。再假設這系統有 $h\,\!$ 個完整約束；那麼，這系統的自由度變為 $m=3n - h\,\!$ 。必須用 $m\,\!$ 個獨立廣義坐標 $(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m)\,\!$ 與時間 $t\,\!$ 來完全描述這系統的運動。坐標的轉換方程式可以表示如下：

$\mathbf{r}_i=\mathbf{r}_i(q_1,\ q_2,\ \dots,\ q_m,\ t)\ ,\qquad\qquad\qquad (i=1,\ 2,\ \dots n\,\!)$ 。

雖然我們可能會遇到複雜的系統時，這轉換方程式具有足夠的靈活性來選擇最合適的坐標。在思考虛位移與廣義力時，這轉換方程式也可以用來建造微分。

實例

雙擺

一個複擺，被約束地移動於一垂直平面，可以用四個直角坐標 $\lbrace x_1,\ y_1,\ x_2,\ y_2\rbrace\,\!$ 來描述。但是，這系統的自由度是 2 ；我們可以用兩個廣義坐標來更精簡地描述這雙擺運動：

$\lbrace q_1,\ q_2 \rbrace = \lbrace\theta_1,\ \theta_2 \rbrace\,\!$ ；

這裏，

$\lbrace x_1,\ y_1 \rbrace = \lbrace l_1\sin\theta_1,\ l_1\cos\theta_1 \rbrace\,\!$ ，

$\lbrace x_2,\ y_2 \rbrace = \lbrace l_1\sin\theta_1+l_2\sin\theta_2,\ l_1\cos\theta_1+l_2\cos\theta_2 \rbrace\,\!$ 。

一粒珠子，被約束地移動在一條穿過它的鐵絲上，自由度是 1 。它的運動可以用一個廣義坐標來描述

$q_1= s\,\!$ ；

這裏，$s\,\!$ 是珠子離鐵絲上一個參考點的徑長。這三維空間運動已被減縮為一維空間運動了。

一個物體，被約束在一個表面上，自由度是 2 ；雖然它的運動也是嵌在三維空間裏。如果這表面是球表面，一個很好的選擇是

$\lbrace q_1,\ q_2 \rbrace = \lbrace \theta,\ \phi \rbrace \,\!$ ；

這裏，$\theta\,\!$ 與 $\phi\,\!$ 是球坐標系的角坐標。 因為 $r\,\!$ 坐標是常數，可以被忽略掉。

參閱

• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學
• 虛功
• 廣義力
• 廣義速度