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廣義相對論中的數學

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狹義相對論[编辑]

狹義相對論中,微積分矩陣為其所用到的主要數學工具,配合閔可夫斯基時空的轉換以及勞倫茲不變量的使用,粗略地描述了的性質。當s'座標系在s座標系沿x軸作等速v運動時,其轉換以以下方程表示:

x' = \frac{x-vt}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}
y' = y
z' = z
t' = \frac{t-\frac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

其具有以下不變形式:

{c^2}{t^2}-x^2-y^2-z^2 = {c^2}{t'^2}-x'^2-y'^2-z'^2

或者寫成微分形式

{c^2}{dt^2}-dx^2-dy^2-dz^2 = {c^2}{dt'^2}-dx'^2-dy'^2-dz'^2

在適當地選取座標系可使c = 1

對於牛頓力學中的動量、能量作了以下的修正:

\mathbf{p}  = m\mathbf{v}
E = mc^2

其中

m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}},:m_0為物質在靜止下的質量

能量和動量有以下關係:

E^2 = {\left(pc\right)}^2+{\left(m_0c^2\right)}^2

廣義相對論[编辑]

狹義相對論僅限於等速、時空可近似平坦地情況下,然而在討論大尺度且有引力場的情況下,就必須使用廣義相對論

愛因斯坦認為,慣性坐標系並沒有優於其他坐標系,一切的物理定律應在任何參考座標系下皆成立,所有的變換應都是協變的。因此,在其論文中,大量地使用稱之為張量(Tensor)的數學工具,其方程往往是非線性的,因此很難求解。

數學形式[编辑]

一小段弧長ds平方的不變式

ds^2 = g_{\mu\nu}{dx^\mu}{dx^\nu}

g_{\mu\nu}度規張量

{dx^\mu}{dx^\nu}逆變張量


質點沿測地線運動,測地線方程可以用哈密頓原理或是平行位移(parallel transportation)等方式推導,以下為測地線方程:

\frac{d^2x^\mu}{ds^2}+\Gamma^{\mu}_{\nu\sigma}\frac{dx^\nu}{ds}\frac{dx^\sigma}{ds} = 0

\Gamma^{\mu}_{\nu\sigma}克里斯多福符號

在非歐式空間中,描述空間曲率的張量為黎曼-克里斯多福張量

R^\beta_{\nu\rho\sigma} = 
\frac{\partial\Gamma^{\beta}_{\nu\sigma}}{\partial x^\rho}-
\frac{\partial\Gamma^{\beta}_{\nu\rho}}{\partial x^\sigma}+
\Gamma^{\alpha}_{\nu\sigma}\Gamma^{\beta}_{\alpha\rho}-
\Gamma^{\alpha}_{\nu\rho}\Gamma^{\beta}_{\alpha\sigma}

参考文献[编辑]

外部連結[编辑]