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延森不等式

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延森不等式(Jensen's inequality)丹麥數學家約翰·延森(Johan Jensen)命名。它給出積分凸函數值和凸函數的積分值間的關係。

一般形式[编辑]

延森不等式可以用測度論概率論的語言給出。這兩種方式都表明同一個很一般的結果。

測度論的版本[编辑]

假設\mu是集合\Omega 的正測度,使得\mu(\Omega) = 1。若g勒貝格可積實值函數,而\varphi是在g的值域上定義的凸函數,則

\varphi\left(\int_{\Omega} g\, d\mu\right) \le \int_\Omega \varphi \circ g\, d\mu

概率論的版本[编辑]

以概率論的名詞,\mu是個概率測度。函數g換作實值隨機變數X(就純數學而言,兩者沒有分別)。在\Omega 空間上,任何函數相對於概率測度\mu的積分就成了期望值。這不等式就說,若\varphi是任一凸函數,則

\varphi\left(E(X)\right) \leq E(\varphi(X))\,

特例[编辑]

機率密度函數的形式[编辑]

假設\Omega 是實數軸上的可測子集,而f(x)是非負函數,使得

\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = 1

以概率論的語言,f是個機率密度函數

延森不等式变成以下關於凸積分的命題:

g是任一實值可測函數,\phig的值域中是凸函數,則

 \varphi\left(\int_{-\infty}^\infty g(x)f(x)\, dx\right) \le \int_{-\infty}^\infty \varphi(g(x)) f(x)\, dx

g(x)=x,則這形式的不等式簡化成一個常用特例:

\varphi\left(\int_{-\infty}^\infty x\, f(x)\, dx\right) \le \int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,f(x)\, dx

有限形式[编辑]

\Omega 是有限集合\{x_1,x_2,\ldots,x_n\},而\mu\Omega 上的正規計數測度,則不等式的一般形式可以簡單地用和式表示:

 \varphi\left(\sum_{i=1}^{n} g(x_i)\lambda_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} \varphi(g(x_i))\lambda_i

其中 \lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = 1, \lambda_i \ge 0

\phi是凹函數,只需把不等式符號調轉。

假設x_1, x_2, \ldots, x_n是正實數,g(x)=x\lambda_i = 1/n\varphi(x) = \log(x)。上述和式便成了

 \log\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{n} \right) \ge \sum_{i=1}^{n} \frac{\log(x_i)}{n}

兩邊取自然指數就得出熟悉的平均數不等式

 \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}

這不等式也有無限項的離散形式。

統計物理學[编辑]

統計物理學中,若凸函數是指數函數,延森不等式特別重要:

 e^{\langle X \rangle} \leq \left\langle e^X \right\rangle

其中方括號表示期望值,是以隨機變數X的某個概率分佈算出。這個情形的證明很簡單(參見Chandler, Sec. 5.5):在以下等式的第三個指數函數

 \left\langle e^X \right\rangle
= e^{\langle X \rangle} \left\langle e^{X - \langle X \rangle} \right\rangle

套用不等式

 e^X \geq 1+X \,

即得出所求的不等式。

大學圖徽[编辑]

延森不等式是哥本哈根大學的數學系圖徽。

參考書目[编辑]

  • Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGraw-Hill. 1987. ISBN 0-07-054234-1. 
  • David Chandler. Introduction to Modern Statistical Mechanics. Oxford. 1987. ISBN 0-19-504277-8. 

注釋[编辑]

外部連結[编辑]