延森不等式

延森不等式以丹麥數學家約翰·延森（Johan Jensen）命名。它給出積分的凸函數值和凸函數的積分值間的關係。

一般形式

延森不等式可以用測度論或概率論的語言給出。這兩種方式都表明同一個很一般的結果。

測度論的版本

假設$\mu$是集合$\Omega$的正測度，使得$\mu(\Omega) = 1$。若$g$是勒貝格可積的實值函數，而$\varphi$是在$g$的值域上定義的凸函數，則

$\varphi\left(\int_{\Omega} g\, d\mu\right) \le \int_\Omega \varphi \circ g\, d\mu$。

概率論的版本

以概率論的名詞，$\mu$是個概率測度。函數$g$換作實值隨機變數$X$（就純數學而言，兩者沒有分別）。在$\Omega$空間上，任何函數相對於概率測度$\mu$的積分就成了期望值。這不等式就說，若$\varphi$是任一凸函數，則

$\varphi\left(E(X)\right) \leq E(\varphi(X))\,$。

特例

機率密度函數的形式

假設$\Omega$是實數軸上的可測子集，而$f(x)$是非負函數，使得

$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = 1$。

以概率論的語言，$f$是個機率密度函數。

延森不等式变成以下關於凸積分的命題：

若$g$是任一實值可測函數，$\phi$在$g$的值域中是凸函數，則

$\varphi\left(\int_{-\infty}^\infty g(x)f(x)\, dx\right) \le \int_{-\infty}^\infty \varphi(g(x)) f(x)\, dx$。

若$g(x)=x$，則這形式的不等式簡化成一個常用特例：

$\varphi\left(\int_{-\infty}^\infty x\, f(x)\, dx\right) \le \int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,f(x)\, dx$。

有限形式

若$\Omega$是有限集合$\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}$，而$\mu$是$\Omega$上的正規計數測度，則不等式的一般形式可以簡單地用和式表示：

$\varphi\left(\sum_{i=1}^{n} g(x_i)\lambda_i \right) \le \sum_{i=1}^{n} \varphi(g(x_i))\lambda_i$，

其中$\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_n = 1, \lambda_i \ge 0$。

若$\phi$是凹函數，只需把不等式符號調轉。

假設$x_1, x_2, \ldots, x_n$是正實數，$g(x)=x$，$\lambda_i = 1/n$及$\varphi(x) = \log(x)$。上述和式便成了

$\log\left(\sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{n} \right) \ge \sum_{i=1}^{n} \frac{\log(x_i)}{n}$，

兩邊取自然指數就得出熟悉的平均數不等式：

$\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}$。

這不等式也有無限項的離散形式。

統計物理學

統計物理學中，若凸函數是指數函數，延森不等式特別重要：

$e^{\langle X \rangle} \leq \left\langle e^X \right\rangle$，

其中方括號表示期望值，是以隨機變數X的某個概率分佈算出。這個情形的證明很簡單（參見Chandler, Sec. 5.5）：在以下等式的第三個指數函數

$\left\langle e^X \right\rangle = e^{\langle X \rangle} \left\langle e^{X - \langle X \rangle} \right\rangle$

套用不等式

$e^X \geq 1+X \,$，

即得出所求的不等式。

大學圖徽

延森不等式是哥本哈根大學的數學系圖徽。

參考書目

Walter Rudin. 0-07-054234-1.  David Chandler. 0-19-504277-8. 

外部連結

• MathWorld上的延森不等式網頁