开映射定理

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泛函分析中,开映射定理是一个基本的结果,它说明如果巴拿赫空间之间的连续线性算子满射的,那么它就是一个开映射。更加精确地(Rudin 1973,定理2.11):

  • 如果XY是巴拿赫空间,A : XY是一个满射的连续线性算子,那么A就是一个开映射(也就是说,如果UX内的开集,那么A(U)在Y内是开放的)。

该定理的证明用到了贝尔纲定理XY的完备性都是十分重要的。如果仅仅假设XY赋范空间,那么定理的结论就不一定成立。然而,如果XY弗雷歇空间,那么定理的结论仍然成立。

结果[编辑]

开映射定理有一些重要的结果:

  • 如果A : XY是巴拿赫空间XY之间的双射连续线性算子,那么逆算子A-1 : YX也是连续的。(Rudin 1973,推论2.12)
  • 如果A : XY是巴拿赫空间XY之间的线性算子,且如果对于X内的每一个序列(xn),只要xn → 0且Axny就有y = 0,那么A就是连续的(闭图像定理)。(Rudin 1973,定理2.15)

证明[编辑]

我们需要证明,如果A : XY是巴拿赫空间之间的连续线性满射,那么A就是一个开映射。为此,只需证明AX内的单位球映射到Y的原点的一个邻域。

UV分别为XY内的单位球。那么X是单位球的倍数kU的序列的并集,k ∈ N,且由于A是满射,

Y=A(X)=A\Bigl(\bigcup_{k \in \mathbb{N}} kU\Bigr) = \bigcup_{k \in \mathbb{N}} A(kU).

根据贝尔纲定理,巴拿赫空间Y不能是可数个无处稠密集的并集,故存在k > 0,使得A(kU)的闭包具有非空的内部。因此,存在一个开球B(cr),其中心为c半径r > 0,包含在A(kU)的闭包内。如果v ∈ V,那么c + rvc位于B(cr)内,因此是A(kU)极限点,根据加法的连续性,它们的差rvA(kU) − A(kU) ⊂ A(2kU)的极限点。根据A的线性,这意味着任何v ∈ V都位于A(δ−1U)的闭包内,其中δ = r / (2k)。于是可以推出,对于任何y ∈ Y任何ε > 0,都存在某个x ∈ X,满足:

\ ||x||< \delta^{-1} ||y|| \quad  \quad ||y - Ax||< \varepsilon. \quad (1)

固定yδV。根据(1),存在某个x1,满足||x1|| < 1且||yAx1|| < δ / 2。定义序列{xn}如下。假设:

\ ||x_{n}||< 2^{-(n-1)} \quad  \quad ||y-A(x_1+x_2+ \cdots +x_n)|| < \delta \, 2^{-n} \, ; \quad (2)

根据(1),我们可以选择xn +1,使得:

\ ||x_{n+1}||< 2^{-n} \quad  \quad ||y-A(x_1+x_2+ \cdots +x_n) - A(x_{n+1})|| <  \delta \, 2^{-(n+1)},

因此xn +1满足(2)。设

\ s_n=x_1+x_2+ \cdots + x_n.

从(2)的第一个不等式可知,{sn}是一个柯西序列,且由于X是完备的,sn收敛于某个xX。根据(2),序列Asn趋于y,因此根据A的连续性,有Ax = y。而且:

||x||=\lim_{n \rightarrow \infty} ||s_n|| \leq \sum_{n=1}^\infty ||x_n|| < 2.

这表明每一个yδV都属于A(2 U),或等价地,X内的单位球的像A(U)包含了Y内的开球(δ / 2) V。因此,A(U)是Y内0的邻域,定理得证。

推广[编辑]

X 或Y 的局部凸性不是十分重要的,但完备性则是:当XYF空间时,定理仍然成立。更进一步,这个定理可以用以下的方法与贝尔纲定理结合(Rudin,定理2.11):

  • X为F空间,Y拓扑向量空间。如果A : X → Y是一个连续线性算子,那么要么A(X)是Y内的贫集,要么A(X) = Y。在后一个情况中,A是开映射,Y也是F空间。

更进一步,在这个情况中,如果NA,那么A有一个标准分解,形如下式:

X\to X/N \overset{\alpha}{\to} Y

其中X / NX子空间N商空间(也是F空间)。商映射X → X / N是开放的,且映射α拓扑向量空间同构Dieudonné,12.16.8)。

参考文献[编辑]

  • Rudin, Walter, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1973, ISBN 0-07-054236-8 
  • Dieudonné, Jean, Treatise on Analysis, Volume II, Academic Press, 1970 

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