覆盖 (拓扑学)

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在数学中，集合 X 的覆盖是集合搜集 C，使得 X 是索引于 C 中的集合的并集的子集。用符号来说，如果 是 X 的子集索引族，则 C 是如下条件下的覆盖(定义可参见: Gamelin 与 Greene- pg 19, 或 Kelly- page 49)

更一般的说，如果 Y 是 X 的子集，而 C 是 X 的子集 U_α 的搜集，它的并集包含 Y，则 C 被称为是 Y 的覆盖。也就是 C 是 Y 的覆盖如果

覆盖通常用在拓扑学的上下文中。如果集合 X 是拓扑空间，我们称 C 是开覆盖，如果它的每个成员都是开集(就是说每个 U_α 都包含在 T 中，这里的 T 是 X 上的拓扑)。

如果 C 是 X 的覆盖，则 C 的子覆盖是 C 的仍覆盖 X 的子集。

X 的覆盖 C 的精致（或稱加細） 是 X 的新覆盖 D 使得在 D 中的所有集合都包含在 C 的某个集合中。用符号来说，覆盖 D = {V_β}_β∈B 是覆盖 C = {U_α}_α∈A 的精致，如果对所有 V_β 存在某个 U_α 使得 V_β ⊆ U_α。

所有子覆盖也是精致，反之不然。但是注意一般的说精致将比原始覆盖有更多的集合。

X 的开覆盖被称为是局部有限的，如果所有 X 的点都有只与这个覆盖的有限多个集合有交集的邻域。用符号来说，C = {U_α} 是局部有限的，如果对于任何 x ∈ X，存在某个 x 的邻域 N(x) 使得集合

是有限的。

[编辑] 紧致性

覆盖的这个词语经常用来定义与紧致性有关的拓扑性质。一个拓扑空间 X 被称为

• 紧致的，如果所有开覆盖有有限子覆盖。
• Lindelöf的，如果所有开覆盖都有可数子覆盖。
• 元紧致的，如果所有开覆盖都有一个点有有限开精致。
• 仿紧致的，如果所有开覆盖允许局部有限、开精致。

[编辑] 引用

1. Introduction to Toplogy, Second Edition, Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Dover Publications 1999. ISBN: 0-486-40680-6
2. General Topology, John L. Kelly. D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.