开集

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拓扑学和相关的数学领域中,集合U被称为开集,如果在直觉上说,从U中任何一点x开始你可以在任何方向上稍微移动一下而仍处在集合U中。换句话说,在U中任何点xU的边界之间的距离总是大于零。

满足x^2+y^2=r^2的点(x, y)着蓝色。满足x^2+y^2<r^2的点(x, y)着红色。红色的点形成了开集。红色和蓝色的点的并集是闭集。

例如,实数线上的由不等式2<x<5 \,规定的集合称为开区间,是开集。这时候的边界为实数轴上的点2和5,如由不等式2\leq x \leq 5,或者2< x \leq 5规定的区间由于包含其边界,因此不能称之为开集。

开集是指不包含自己边界点的集合。或者说,开集把它所包含的任何一点的充分小的邻域也包含在其自身之中。开集的概念一般与拓扑概念是紧密联系着的,通常先公理化开集,然后通过其定义边界的概念。(详细请参照拓扑空间

定义[编辑]

可以按不同的一般性程度来形式化开集的概念。

函数分析[编辑]

Rn中点集是开集,如果在这个集合的所有点P都是内部点

欧几里得空间[编辑]

n维欧几里得空间Rn的子集U是开集定义为:如果给定任何在U中的点x,存在一个实数ε > 0使得,如果给定任何Rn中点y,有着从x到它的欧几里得距离小于ε,则y也属于U。等价的说,U是开集,如果所有U中的点有包含在U中的邻域

度量空间[编辑]

度量空间M,d)的子集U是开集,如果给定任何U中的点x,存在一个实数ε > 0使得,如果给定任何M中的点y,有d(x,y) < ε,则y也属于U。(等价的说,U是开集,如果所有U中的点有包含在U中的邻域。)

这推广了欧几里得空间的例子,因为带有欧几里得距离的欧几里得空间是度量空间。

拓扑空间[编辑]

拓扑空间中,开放性概念被选取为基础性的。你可以开始于任意集合X和满足假定的所有“合理”开放性概念的特定性质的X子集族。这种子集族T被叫做X上的“拓扑”,而这个集合族的成员被叫做拓扑空间 (X,T)的开集。注意开集的无限交集不必须是开集。可以构造为可数多个开集的交集的集合被指示为Gδ集合。

开集的拓扑定义推广了度量空间定义:如果你开始于一个度量空间并如上定义开集,则所有开集的集合族将形成在这个度量空间上的拓扑。所有度量空间因此以自然方式是拓扑空间。(但有不是度量空间的拓扑空间。)

性质[编辑]

  1. 空集是開集(注意空集也是閉集)。
  2. 定义拓扑的集合X既开又闭。
  3. 任意个开集的并集是开集。[註 1]
  4. 有限个开集的交集是开集。[註 2]

例子[编辑]

  • 度量空间(X,d)中,以点x\in X为中心,\varepsilon为半径的球体B(x,\varepsilon)为开集,任意的开集A包含以x\in A为中心,充分小的\varepsilon为半径的球体B(x,\varepsilon)
  • 流形中的开集为子流形

用处[编辑]

开集在拓扑学分支中是基础重要性的。需要这个概念来定义拓扑空间和处理空间如度量空间一致空间中的邻近性收敛概念的其他拓扑结构并使其有意义。

所有拓扑空间X子集A都包含一个(可能为空)开集;最大的这种开集被叫做A内部。它可以通过选取包含在A中的所有开集的并集来构造。

给定拓扑空间XY,从XY函数f连续的,如果在Y中的所有开集的前像是在X中的开集。映射f被叫做开映射,如果在X中的所有开集的Y中的开集。

实直线上开集有它是不相交开区间的可数并集的特征性质。

相关条目[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ 开集等价于每个点都有一个邻域包含在该集合内。因此任意个开集的并集仍然保持上述性质。
  2. ^ 直观上,开集是不包含其边界的集合。而无限多开集的交集有可能收敛到包含边界的闭集。例如,三维欧式空间上以原点为中心的开球,半径为1.1、1.01、1.001、...,其交集为半径为1.0的闭球。