引力波天文学

正处于旋近态的双白矮星RX J0806.3+1527，当前它们之间的距离只有八万千米左右，其后是它们发生合并的想象图；钱德拉X射线天文台已经提供间接证据支持RX J0806.3+1527可能是已知的最明亮的引力波源之一，更直接的证实需要借助像LISA这样的引力波空间探测器的观测。

引力波天文学是观测天文学20世纪中叶以来逐渐兴起的一个新兴分支，其发展基础是广义相对论中引力的辐射理论在各类相对论性天体系统研究中的应用。与基于电磁波观测的传统观测天文学相对比，引力波天文学是通过引力波这个途径来观测发出引力辐射的天体系统。由于万有引力相互作用和电磁相互作用相比强度十分微弱，引力波的直接观测对现有技术而言还是一个很大的挑战。自1916年爱因斯坦发表广义相对论，在理论上预言引力波的存在以来，引力波至今未能在实验上直接被检测到。因此从这个意义上说，真正实现通过引力波的观测来从实验上研究天体系统，从而完善引力波天文学这一新兴领域还为时尚早。但从相关的理论研究角度来看，理论上的引力波天文学已经存在，它的发展基础是20世纪中叶以来在引力辐射框架下的天体物理学研究，其中最著名的例子是普林斯顿大学的拉塞尔·赫斯（Russel Hulse）和约瑟夫·泰勒（Joseph Taylor）发现的脉冲双星，PSR 1913+16，这些研究使人们逐渐发现相对论性引力在天体系统中的重要地位。而从实验的角度来看，引力波的探测技术研究已经取得了相当的成果，研究人员预测人类很有可能在不远的将来实现对引力波的直接探测。

广义相对论预言下的引力波来自于宇宙间带有强引力场的天文学或宇宙学波源，近半个世纪以来的天体物理学研究表明，引力辐射在天体系统中出现的场合非常丰富。这些可期待的波源包括银河系内的双星系统（白矮星、中子星或黑洞等致密星体组成的双星），河外星系内的超大质量黑洞的合并，脉冲星的自转，超新星的引力坍缩，大爆炸留下的背景辐射等等。引力波的观测意义不仅在于对广义相对论的直接验证，更在于它能够提供一个观测宇宙的新途径，就像观测天文学从可见光天文学扩展到全波段天文学那样极大扩展人类的视野。传统的观测天文学完全依靠对电磁辐射的探测，而引力波天文学的出现则标志着观测手段已经开始超越电磁相互作用的范畴，引力波观测将揭示关于恒星、星系以及宇宙更多前所未知的信息。

与基于电磁波观测的传统观测天文学不同，引力波天文学具有如下特点：

• 引力波直接联系着波源整体的宏观运动，而非如电磁波那样来自单个原子或电子的运动的叠加，因此引力辐射所揭示的信息与电磁辐射观测到的完全不同。例如对一个双星系统观测到的引力波的偏振揭示了其双星轨道的倾斜度，这类关于波源运动的宏观信息通常无法从电磁辐射观测中取得。

• 如果比较波长与波源尺寸的关系，宇宙间的引力波并不像电磁波那样波长比波源尺寸小很多，这使得引力波天文学通常不能像电磁波天文学那样对波源进行拍照成相，而是类似声波直接从波形分析波源的性质。

• 大多数引力波源很难或根本无法通过电磁辐射直接观测到（例如黑洞），这个事实反过来也成立；考虑到现在一般认为宇宙间不发射任何电磁波的暗物质所占比例要远大于发射电磁波的已知物质，暗物质与外界的唯一相互作用即是引力相互作用，引力波天文学对这些暗物质的观测具有重要意义。

• 引力波与物质的相互作用非常弱，在传播途径中基本不会像电磁波那样容易发生衰减或散射，这意味着它们可以揭示一些宇宙角落深处的信息，例如宇宙诞生时形成的引力辐射至今仍然在宇宙间几乎无衰减地传播，这为直接观测大爆炸提供了仅有的可能。

引力波理论

引力波的基础理论

阅读本节需要了解电动力学和广义相对论的基本概念，可直接参阅有关书籍。

线性爱因斯坦方程

引力波——时空的波纹（示意图）

广义相对论预言下的引力波是以波形式传播的时空扰动，被形象地称为“時空漣漪”（Ripples in Spacetime）。广义相对论下的弱引力场可写作对平直时空的线性微扰：（以下采用自然单位，引力常数G = 光速c = 1）

$g_{\alpha \beta} = \eta_{\alpha \beta} + h_{\alpha \beta}\,$，其中$|h_{\alpha \beta}|<<1\,$

这里$\eta_{\alpha \beta} = diag(-1, 1, 1, 1)\,$是平直时空的闵可夫斯基度规，$h_{\alpha \beta}\,$是弱引力场带来的微扰。在这个度规下计算得到的黎曼张量为

$R_{\alpha \beta \mu \nu} = \frac{1}{2}\left( \partial_\mu \partial_\beta h_{\alpha \nu} - \partial_\mu \partial_\alpha h_{\beta \nu} + \partial_\nu \partial_\alpha h_{\beta \mu} - \partial_\nu \partial_\beta h_{\alpha \mu} \right)$

爱因斯坦张量为

$G_{\alpha \beta} = -\frac{1}{2} \left( \partial_\mu \partial^\mu \overline{h}_{\alpha \beta} + \eta_{\alpha \beta} \partial^\mu \partial^\nu \overline{h}_{\mu \nu} - \partial_\beta \partial^\mu \overline{h}_{\alpha \mu} - \partial_\alpha \partial^\mu \overline{h}_{\beta \mu} \right)$

这里$\overline{h}_{\alpha \beta} = h_{\alpha \beta} - \frac{1}{2}\eta_{\alpha \beta}h$，$h = \eta^{\alpha \beta} h_{\alpha \beta}\,$，$\overline{h}_{\alpha \beta}\,$被称作迹反转度规微扰（trace-reverse metric perturbation）。
如果采用洛伦茨规范，爱因斯坦张量的后三项将为零，这里洛伦茨规范的形式为

$\partial^\beta \overline{h}_{\alpha \beta} = 0$

事实上总可以选择这样的规范条件，并且洛伦茨规范不是唯一的，意味着坐标在一个无穷小的线性坐标变换下仍满足洛伦茨规范，关于这一点请参考有关规范变换的内容。

在洛伦茨规范下，爱因斯坦张量为

$G_{\alpha \beta} = -\frac{1}{2}\partial_\mu \partial^\mu \overline{h}_{\alpha \beta} = -\frac{1}{2} \Box^2 \overline{h}_{\alpha \beta}$

代入爱因斯坦引力场方程$G_{\alpha \beta} = 8\pi T_{\alpha \beta}\,$，

$\Box^2 \overline{h}_{\alpha \beta} = -16\pi T_{\alpha \beta}\,$

这个方程又叫弱引力场中的线性爱因斯坦方程。在远源（$T_{\alpha \beta} = 0\,$）的情形下，得到带有达朗贝尔算符的四维波方程：

$\Box^2 \overline{h}_{\alpha \beta} = 0\,$

引力波的传播

上面波方程的一般解为如下本征函数的线性叠加：

$\overline{h}_{\alpha \beta} = A_{\alpha \beta}\exp{\left(i \mathbf{k \cdot x}\right)}$

其中$A_{\alpha \beta}\,$是四维振幅，$\mathbf{k}\,$是四维波矢，满足条件

$\eta_{\alpha \beta} k^{\alpha} k^{\beta} = 0 \,$，这表明引力波传播经过的测地线是零性的，即其传播速度是光速。

四维波矢$k^{\alpha} = \left(\omega_{\vec k}, \vec k \right)\,$，其中$\omega_{\vec k}\,$是波的角频率，$\vec k$是经典的三维波矢。由于洛伦茨规范并不唯一，此时坐标还不是完全确定的。如果再加上条件：

$\overline{h}_{t i} = 0 \,$

$\eta_{\alpha \beta}\overline{h}^{\alpha \beta} = 0 \,$

第一个条件表示引力波张量中所有与时间t有关的分量都为零，第二个条件表示引力波张量矩阵的迹为零。因此这组规范条件叫做转置无迹规范（transverse traceless gauge），简称TT规范。在TT规范下，$\overline{h}_{\alpha \beta} = h_{\alpha \beta} \,$。 由洛伦茨规范和TT规范共同决定下的引力波张量只有两个分量是独立的，它们实际对应着引力波的两种偏振态。对于在z方向传播的波矢$k^{\alpha} = \left(\omega, 0, 0, \omega \right)\,$，这两个振动分量垂直于传播方向，这表明引力波和电磁波一样是横波，其张量形式写作

引力波的$h_{+}\,$偏振对质点位置的调制

引力波的$h_{\times}\,$偏振对质点位置的调制

$h_{\alpha \beta} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & h_{+} & h_{\times} & 0\\ 0 & h_{\times} & -h_{+} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$h_{+}\,$ 和 $h_{\times}\,$是引力波的两种偏振态，右图中示意了两种偏振各自不同的振动形式。

引力波的辐射

有源的线性爱因斯坦方程解释了波源的运动如何产生引力辐射：

$\Box^2 \overline{h}^{\alpha \beta} = -16\pi T^{\alpha \beta}\,$

类似用泊松方程求解牛顿引力势，运用格林函数可得到带有推迟势的一般解：

$\overline{h}^{\alpha \beta} \left( t, \vec x \right) = 4 \int \operatorname{d}^3 x^\prime \frac{T^{\alpha \beta} \left( t - |\vec x - \vec x^\prime|, \vec x^\prime \right)}{|\vec x - \vec x^\prime|}$

这里$T^{\alpha \beta}\,$所处在的时间是$t - |\vec x - \vec x^\prime|\,$，表示引力波从源点$\vec x^\prime\,$传播到场点$\vec x\,$经过了时间为$|\vec x - \vec x^\prime|\,$的延迟。
在远场近似和长波极限下，格林函数解近似为

$\overline{h}^{\alpha \beta} \left( t, \vec x \right) \approx \frac{4}{r} \int \operatorname{d}^3 x^\prime T^{\alpha \beta}\left( t - r, \vec x^\prime \right)$

其中标量$r = |\vec x - \vec x^\prime| \approx |\vec x|\,$是源点到场点的距离。
相对论中波源的质能守恒和动量守恒合起来写作

$T^{\alpha \beta}_{, \beta} = 0 \,$

因此动量-能量张量$T^{\alpha \beta}\,$中的$T^{tt}\,$（质量-能量密度）和其他所有和时间t有关的分量$T^{i t}\,$（动量密度）对时间的偏导数都为零，代入后方程的解可进一步化简为

$\overline{h}^{\alpha \beta} = \frac{2}{r}\frac{\operatorname{d}^2 Q^{\alpha \beta}\left( t -r \right)} {\operatorname{d} t^2}$

这即是引力辐射的四极矩近似公式，描述了一个弱相对论系统引力辐射的最基本情形。其中$Q^{\alpha \beta}\,$描述了波源的质量-能量分布

$Q^{\alpha \beta} = \int \rho x^{\prime\alpha} x^{\prime\beta}\, \operatorname{d}^3 x^\prime$

这里张量$Q^{\alpha \beta}\,$即是系统的质量四极矩（转动惯量张量），而$\rho \equiv T^{tt}\,$是波源的质量-能量密度，积分范围是整个波源内部。
四极矩公式的物理意义是引力辐射起始于随时间二阶变化（例如谐振）的四极矩，这一点与电磁辐射不同：电磁辐射起始于随时间二阶变化的偶极矩。这一区别的来源是：一个随时间二阶变化的电偶极矩或磁偶极矩对应着电荷密度中心的振动，这一振动是随意不受限制的；而一个随时间二阶变化的质量的偶极矩对应着质心的振动，这一振动不能满足动量守恒定律，因此不存在这样对时间二阶偏导不为零的质量偶极矩。由于四极矩是偶极矩的更高阶项，这也是引力辐射要远弱于电磁辐射的原因。

引力波的能量

四极矩近似下引力波的光度（总辐射功率）为

$L_{GW} = \frac{1}{5} \left( \sum_{i, j} \frac{\operatorname{d}^3 Q_{i j}} {\operatorname{d} t^3} \frac{\operatorname{d}^3 Q_{i j}} {\operatorname{d} t^3} - \frac{1}{3} \left( \frac{\operatorname{d}^3 Q} {\operatorname{d} t^3} \right)^2 \right) \,$

这里Q是张量矩阵$Q_{i j}\,$的迹。 引力波的能量通量（单位面积的辐射功率）近似为

$F_{GW} \sim |\dot h|^2 \sim f^2 h^2 \,$

这里f是单色引力波的频率。
假设对于一束频率为1000赫兹，到达地球时的应力强度$h = 10^{-22}\,$的引力波，可得其能量通量约为$3 \times 10^{-3} W/m^2 \,$，这比满月时地球上接收到的电磁辐射的能量通量还要大两倍，是全天最亮的恒星天狼星到达地球的电磁辐射能量的约一万倍。这表明引力波实际可以携带很大的能量，但与物质相互作用力非常小，这才是引力波难以被探测的根本原因。

当代引力波天体物理学

引力辐射在很多已知的天体系统的动力学中都起到了很显著的影响。这里例举了几个引力辐射在某些天体系统中的著名应用，某些应用如脉冲双星PSR1913+16是引力波间接观测的典型实例，但更多的应用还只是理论上的解释。

激变变星

激变变星的吸积（构想图）

最早的天体系统中的引力辐射效应解释是由加利福尼亚大学圣塔克鲁兹分校的约翰·福柯纳（John Faulkner）首先提出的，他的模型是一个激变双星系统。这类系统一般都包含有新星，存在着白矮星从其伴星（在福柯纳的模型中是一颗红矮星）吸积物质的过程。与中子星的吸积过程中氢元素很快转变为重元素不同，白矮星吸积过程中的氢元素会不断积累最后导致链式核反应，从而形成系统对外可见的突发辐射，因此系统被命名为激变变星。

福柯纳计算了一个同时满足质量和角动量守恒的圆轨道激变变星模型。从简单的牛顿动力学就可以导出在吸积过程中，如果质量从较大质量恒星向较小质量恒星转移，系统的轨道会收缩，相反方向的转移则会造成轨道扩张。存在有白矮星吸积的变星系统中，随着质量向较小质量恒星的转移，两颗恒星的距离逐渐被拉近，其结果会进一步使吸积速率越来越快；直到两颗恒星质量通过吸积达到相等状态后，吸积过程成为了较小质量恒星向新的大质量恒星的质量转移，这将导致系统的轨道扩张和两颗恒星距离拉开。在这种情形下，吸积的速率本该逐渐降低，但事实是观测到吸积的速率保持基本恒定的。福柯纳指出轨道运动辐射出的引力波会携带一部分角动量，从而使两颗恒星的距离保持接近的趋势，即轨道扩张和引力辐射两种效应整体上共同决定了吸积速率保持恒定。福柯纳运用四极矩公式计算了激变变星的引力辐射效应，其结果和实验观测相当符合。

脉冲双星PSR 1913+16

双星系统PSR1913+16轨道因引力辐射而逐年衰减

轨道系统的引力辐射效应中，最著名的例子是1975年普林斯顿大学的拉塞尔·赫斯和约瑟夫·泰勒发现的脉冲双星，PSR 1913+16（也被称作PSR B1913+16）。这一系统由在一个密近的偏心轨道上旋近的两颗中子星构成，是首个被发现的脉冲双星，从发现至今已被观测了三十多年。脉冲星是一个稳定的时钟，这使得人们能够运用非相对论的数据分析方法从脉冲信号的抵达时间推算出系统轨道的基本参量（如椭圆轨道半长轴的投影、偏心率等），而从广义相对论导致的抵达时间变化能够推算出与相对论效应有关的参量（如近星点的进动角速率、引力红移等），从这些参量可以进一步推算出双星系统的倾斜度、质量等（得到的两颗恒星质量都在1.4倍太阳质量左右）。引力辐射导致的系统动能损失表现为双星轨道的衰减，进一步表现为轨道运动周期的逐渐降低，理论计算得到的每秒钟内的周期变化为$-2.40242 \pm 0.00002 \times 10^{-12}\,$秒。这一理论预言和实验观测结果符合得相当好，而实验观测误差则低于1%。迄今为止人类从引力辐射角度对爱因斯坦方程正确性的验证中，这个实验是精确度最高的。

CFS不稳定性和r模式

1971年印度物理学家钱德拉塞卡应用四极矩公式计算了对自转中子星的简正模式的本征频率修正，发现在某些模式下引力辐射的耦合可能导致自转星体的不稳定性。而其后威斯康星大学密尔沃基分校的约翰·弗里德曼（John Friedmann）和加的夫大学的伯纳德·舒尔茨（Bernard Schutz）的工作证明，牛顿力学中特定模式下稳定的星体在广义相对论中会变得不稳定，这一转变有一个关键的表征：如果自转恒星是一个理想流体，当在星体表面传播的密度波传播方向（模式速率方向）慢于星体自转速率，或与星体自转方向相反，却同时被自转拖拽因而总体运动方向与自转一致时，密度波所辐射的引力波在远处的观察者看来是在释放能量，而以星体为参照系的观察者看到的是密度波从中获得能量，其结果导致密度波反而被放大，这种情形被称作CFS不稳定性（Chandrasekhar-Friedman-Schutz Instability），这种机制类似于星系中旋臂的密度波的形成。其后马里兰大学的林德布洛姆（Lee Lindblom）和戴特维勒（Steven Detweiler）于1976年研究了在粘性作用下引力辐射对恒星稳定性的影响，并指出因星体粘性作用产生的不稳定性和因引力辐射造成的CFS不稳定性会相互影响抵消。

1997年华盛顿大学圣路易斯分校的安德森（Nils Andersson）首先提出自转中子星还存在另一类牛顿力学下的模式具有相同的不稳定性，这一模式被称作罗斯比或r模式。这种模式下动量对引力辐射起主导作用，即引力辐射来源于质量流的四极矩而非质量的四极矩。其后安德森等人的诸多研究表明这种引力辐射导致的不稳定性在高温高速旋转的恒星中表现得非常强，而这类恒星正是对应着处于r模式的高速自转的年轻的中子星，其引力辐射的效应要强于星体本身的粘性，其结果就是不稳定性严重限制了中子星的自转频率。在这些中子星形成初期它们的自转频率都很高，伴随着引力辐射损失大部分角动量，计算得到在约一年的时间内其频率可降至最大值的7.6%，温度也降至$10^9K\,$。加州理工学院的林德布洛姆、欧文（Benjamin Owen）和威斯康星大学密尔沃基分校的莫辛克（Sharon Morsink）预计随着星体的逐渐冷却至超流体的临界温度，中子星具有的超流动性完全抑制了r模式的不稳定性，这些较老的中子星有可能通过吸积的途径重新获得角动量从而使自转加快。这一理论的重要性在于它或许能够解释为什么所有已知的年轻的中子星都相对于较老的毫秒脉冲星自转速度较慢十倍左右，从而对中子星的早期演化有一个更全面深入的了解。

低质量X射线双星

罗西探测器（Rossi X-ray Timing Explorer, RXTE）的观测证明某一类特定的X射线源：低质量X射线双星（Low Mass X-ray Binary, LMXB）系统内存在具有相当窄频自旋的中子星，它们吸积的速度很快（每年可传递10^-11倍太阳质量），磁场相对较弱（小于10¹¹高斯） 。这些中子星被认为能够通过吸积获得持续增长的角动量，从最初的低频自旋逐渐变为高频的毫秒脉冲星。从这个假设直接导出的推论是，对这种类型的中子星进行观测时将观测到它们的频率覆盖了一个很宽的频谱范围。但事实并非如此，它们的自旋频率都大于250赫兹但小于500赫兹，其中有20%左右自旋频率都在300赫兹以下。对这一现象目前最合理的解释是由加利福尼亚大学伯克利分校的比尔德斯坦（Lars Bildsten）提出的，即引力辐射消耗了吸积得到的角动量，从而限制了自旋速率。他提出如下机制：中子星表面各向异性的吸积在其表面形成了一个温度梯度，从而导致形成了一个处于平衡态的原子核的质量梯度，并通过恒星的自旋形成了引力辐射的密度梯度。结果就是辐射消耗了增加的角动量，使中子星的自旋速度保持稳定。在这种机制下，中子星放射出的引力波的光度将和测量到的X射线的通量成正比，因为X射线的通量本身也和被引力辐射消耗的角动量增量成正比。如果这种机制是正确的，天鹅座的X射线源X-1将同时辐射可观测的X射线和引力波。

WMAP所绘制的宇宙微波背景辐射

宇宙背景辐射

宇宙背景探测者（COBE）对宇宙微波背景辐射的最初观测开启了对早期宇宙研究的新窗口。而由美国国家航空航天局发射的威尔金森微波各向异性探测器（WMAP）和由欧洲空间局即将发射的普朗克探测器（PLANCK）能够显著提高对这种小尺度的各向异性观测的灵敏度。这些小尺度的各向异性有可能来自大爆炸留下的微波背景辐射，也有可能来自宇宙早期的质量密度微扰形成的引力背景辐射，因此原则上能够为早期宇宙形成时留下的引力背景辐射的能量密度提供约束条件。尽管这些探测器不能区分来自不同原因的各向异性，但目前为止这是对极低频的引力背景辐射探测的唯一手段。这些引力波所携带的信息将有助于理解早期星系形成以及利用各向异性测量宇宙学参数。而现有的引力波探测器原则上也能够测量引力波的背景辐射，但即使它们的灵敏度达到了能够观测的程度，在频域上也仅限于较短波长的范围内，因为受干涉臂长的限制，探测器无法对太长波长的引力波进行测量。

引力波天文学的研究对象

引力波天文学这个名称现在已经脱离了单纯意义上的观测天文学范畴，粗略来讲引力波天文学涉及以广义相对论为基础的理论和实验天体物理学、激光物理、数字信号处理、控制论、概率统计等多方面的领域。伯纳德·舒尔茨曾列出成功观测引力波的五条关键要素：

1. 良好的探测器技术
2. 良好的波形预测
3. 良好的数据分析方法和技术
4. 多个独立探测器间的符合测量
5. 引力波天文学和电磁波天文学的符合测量

从这五条要素可以将引力波天文学划归为三个方向。

引力波源

研究对象为第2条和第5条，主要研究被认为可观测引力波源的物理性质，从理论上计算具体的引力波源产生的引力波的波形，以及这些特定的波源在星系中的数量和在某一时空范围内被观测到的几率。

天体物理学中研究的电磁波谱通常最高可达$10^7\,$赫兹，向下延伸20个数量级；而引力波谱通常最高为$10^4\,$赫兹，也向下延伸20个数量级左右，范围从最高频的超新星引力坍缩和毫秒脉冲星到最低频的宇宙早期量子涨落，涵盖种类繁多的天体系统。

起止频率（赫兹）	时间尺度	波源	现有的探测手段
1 - 104	100秒 - 10-1毫秒	超新星的引力坍缩；脉冲星；双中子星和恒星质量黑洞双星；随机引力背景辐射（大爆炸；宇宙暴脹或宇宙弦）	地面激光干涉探测器、共振质量探测器
10-4 - 1	100小时 - 100秒	其他种类已知或未知双星；极端质量比例旋；超大质量黑洞双星；随机引力背景辐射（大爆炸；暴脹或宇宙弦）	空间激光干涉探测器
10-9 - 10-7	101年 - 100月	质量大于1011倍太阳质量的双星（传统天文学认为不存在这样高质量的天体）；随机引力背景辐射（大爆炸；宇宙暴脹或宇宙弦）	脉冲星计时
10-18 - 10-15	哈勃时间	随机引力背景辐射（大爆炸；宇宙暴脹或宇宙弦）	微波背景辐射探测器

近年来关于引力辐射理论的研究着重于使用不同的近似来研究两体问题。原因在于双星系统可以确定是重要的引力波源。但在相对论力学中两体问题并不像牛顿力学中的两体问题那么容易。两体问题只能得到近似解的原因是难于处理辐射场以及处理非线性的爱因斯坦方程。最直接的办法则是数值解爱因斯坦方程，或者应用近似的解析方法。最典型并且应用最多的解析方法是所谓后牛顿力学近似方法，这种近似试图模仿牛顿力学的形式来解决较弱引力场的相对论问题。具体做法是对微小的牛顿力学量加以展开，可以选择展开的项有速度$\left(v/c\right)$或者牛顿引力势$\left(M/R\right)$，这实则是对相对论一种弱场低速的近似。这两个量是相联系的因为对自引力系统甚至相对论性引力系统而言有$v^2 \sim M/R \,$。当前对引力波的波形的预测有解析和数值计算的方法：

运用后牛顿力学近似方法计算出的双中子星合并过程的引力波形

• 解析计算：对于一般的双星系统，最常见的解法是用后牛顿力学近似方法做出的解析近似。引力辐射对应着后牛顿展开至最低2.5阶，即展开至$\left(v/c\right)$的2.5幂次方项（展开至2阶时系统动量-能量仍然守恒，无引力辐射），习惯记做2.5pN，一般研究中则要求后牛顿方法至少展开到3pN。3pN展开是后牛顿方法研究得比较成熟的近似，主要研究人员有达莫（Damour），杰拉诺斯基（Jaranowski）和萨法（Schäfer）采用广义相对论的ADM-哈密顿量形式，以及安德雷德（Andrade），布兰谢（Blanchet）和法耶（Faye）直接在谐振坐标下计算运动方程。这两种算法的结果在物理上被证明等价，为寻找来自双星系统的引力波信号提供了可信的模板。当前后牛顿展开近似的最高阶数为5.5pN，为大阪大学的佐佐木节（佐々木 節，罗马字Sasaki Misao）等人所得出。
• 数值计算：在强引力场情形下，后牛顿近似方法不适用，包括两个黑洞的合并这样释放出突发信号的情况。数值相对论（Numerical Relativity）就是引力波天文学的这样一个分支，它试图从爱因斯坦场方程出发，通过计算机模拟的办法找到如黑洞双星的合并等模型的尽可能精确的数值解。数值相对论中目前最常见的方法是对爱因斯坦方程做所谓“3+1”分解（即3维空间-1维时间分解），这是由得克萨斯农机大学的阿诺维特（Anorwitt）、布兰德斯大学的戴瑟（Deser）和马里兰大学的米斯纳（Misner）于二十世纪六十年代创立的，有时也叫做ADM形式。其基本思想是将连续时空切割成类空的超平面，从而得到可定义的哈密顿量，则系统的动力学方程具有哈密顿方程的形式。数值相对论对于处理黑洞双星的合并过程已经取得了相当漂亮的结果，表现为计算得到的从旋近到合并后自转减缓的相变过程具有平滑过渡的波形。

引力波探测器

研究对象为第1条和第4条，主要研究引力波探测器的设计和构造原理，噪声分析以及探测器对引力波的响应。

现今一般的激光干涉探测器的基本构造是一个干涉测量系统，在探测器的设计中需要考虑如何正确测量到干涉信号，以及如何测量到有用的引力波信号。为使引力波探测器能够达到探测各种引力波源的要求，探测器的灵敏度是决定因素。由于可观测的引力辐射量级在$10^{-21}/\sqrt{Hz}\,$左右，粗略来说探测器的灵敏度应该相当于或优于这个量级。但在实际应用中由于各种随机噪声的影响总是存在，这些噪声是制约探测器灵敏度提升的主要原因。每一台引力波探测器都有其特定的频域下的灵敏度曲线，灵敏度曲线是由特定频域下的主导噪声决定的，不过通常情况下噪声的量级远超过探测器的灵敏度要求，因此需要找到所有可能造成影响的噪声源并尽可能将这些噪声降低至灵敏度的要求，否则真正的引力波信号就会淹没在噪声的海洋中无法识别。如何降噪是引力波探测器设计制造的关键环节之一，在实际应用中探测器有各种降噪手段，包括被广泛采用的自动控制的方法，通过反馈信号将参数稳定在规定的目标范围内。例如对激光干涉空间天线（LISA）而言，主要的噪声源来自探测器本身的激光频率噪声，LISA因此有其相应的激光频率降噪技术，包括光学谐振腔的调制解调、时间延迟干涉（Time Delay Interferometry）等。而引力波信号传播到探测器时，由于受到地球自转和公转的多普勒调制，频率、振幅、相位等参数会发生改变；加上坐标变换、探测器本身对引力波存在特定的响应模式（即天线样式，Antenna Pattern）等因素，探测器得到的引力波信号和其在TT规范下的形式会很不相同，这也是引力波探测器的研究内容之一。

数据分析

研究对象为第3条和第4条，通过对观测结果进行数据分析，寻找到可能的引力波信号。

引力波探测器的探测结果是一个同时遍布噪声和探测器对引力波信号响应的时间序列：

$s(t) = F^{+}(t)h_{+}(t) + F^{\times}(t)h_{\times}(t) + n(t)$

其中$F^{+}\,$和$F^{\times}\,$分别是探测器对引力波两种偏振态的响应模式（天线样式），$n(t)\,$是随机噪声。数据分析的基本出发点是通过傅立叶变换（例如应用快速傅立叶算法）将这个时间序列转换到频域。但由于随机噪声的存在，分析这些数据时需要考虑到其不确定性，这需要采用概率统计的方法。对于概率存在两种诠释：频率概率和贝叶斯概率，引力波信号的数据分析一般也分为相应的方法，其中对应频率概率的最常见的分析方法叫做模式匹配算法（matched filtering）。模式匹配算法也是通信工程中识别信号的常用算法，它的基本思路是将一个信号模板（已知信号）和观测结果（未知信号）进行互相关运算，从而可以从观测结果中找到信号模板是否存在。对于波形能够得到准确预知的引力波信号，则这种算法理论上是可行的。除此之外，某些场合还对数据结果有特殊要求，例如LISA在处理数据时需要对结果进行高精度的插值以消除计时误差的影响，这种算法叫做分数延迟滤波（fractional delay filtering）。

引力波探测器

引力波探测器发展史

第一架实际投入应用的引力波探测器是二十世纪六十年代美国马里兰大学的约瑟夫·韦伯（Joseph Weber）制造的铝质实心圆柱，通常称为共振质量探测器或棒状探测器。棒状探测器的灵敏度主要来源于圆柱体尖锐的共振频率，通常的频谱范围窄至一到几个赫兹。铝质圆柱体长约3米，其共振频率在500赫兹至1.5千赫兹的范围内，质量约为1000千克，用细丝悬挂起来。当引力波照射到圆柱上时圆柱会发生谐振，继而可以通过安装在圆柱周围的压电传感器检测到。除了受到来自外界地震、空气振动、温度和湿度变化、空气分子布朗运动等干扰之外，仪器本身还存在相当的热噪声、传感噪声和量子噪声。韦伯在相距1000公里的地方放置了两个相同的棒状探测器，只有两个探测器同时检测到的振动才被记录下来。1968年，韦伯宣称他的探测器得到了可靠的结果，立刻引起轰动，但是后来的重复实验都得到了零结果。此后意大利、澳大利亚、美国的科学家相继建造了类似的铝质圆柱形探测器，有的采取了更复杂的减震、低温、真空等措施排除干扰，但是都没有得到令人信服的证据。

二十世纪七十年代后，基于激光干涉的引力波探测器开始兴起。这种应用激光干涉的构想仍然来自韦伯，但六十年代的技术无法使之付诸实践。随着激光和镜面工艺的进步，二十世纪八十年代初最初的三台激光干涉引力波探测器原型分别在格拉斯哥、慕尼黑附近以及麻省理工学院投入运行，随后第四台探测器出现在加州理工学院，这些探测器都属于第一代干涉探测器。但在当时新的棒状探测器仍在不断地制造，并且它们具有比新兴的激光干涉探测器更高的灵敏度。因此大尺度的激光干涉探测器被寄予希望成为新一代的探测器，主要包括美国的激光干涉引力波天文台（LIGO）、德国和英国合作的GEO600（臂长600米）、日本的TAMA300（臂长300米）、法国和意大利合作的VIRGO（臂长3000米）、以及日本计划中的LCGT（臂长3000米）、澳大利亚计划中的AIGO等；还有美国和欧洲合作计划中的空间激光干涉探测器激光干涉空间天线（LISA），用来探测不可能被地面探测器探测到的低频引力波信号。点这里查看世界上的引力波探测器列表

激光干涉引力波探测器原理

迈克耳孙干涉仪应用激光光束来测量两条相垂直的干涉臂的长度差变化。通常情况下由不同的引力波引起的干涉臂长度变化是不同的，因而干涉仪是最直接的引力波探测器。所有的干涉探测器都可用一个激光光束和引力波相互作用的公式来描述。从一点发射出的光束传播距离L后返回，其来回过程中若受到引力波影响，行程所用时间将发生改变。所有干涉探测器主要测量的都是这种时间变化。如果一束引力波是平面波，在时刻为t时振幅为h，传播方向与干涉仪的激光传播方向夹角为θ，并假设激光的返回时间$t_{return}\,$是位于激光出发点的时钟测量出的固有时，则此返回时间对时间的变化率由此公式给出：

$\frac{dt_{return}}{dt} = 1 + \frac{1}{2}\left\{(1 -\cos{\theta})h(t + 2L) - (1 + \cos{\theta})h(t) + 2\cos{\theta}h[t + L(1- \cos{\theta})]\right\}$

这个关系被伯纳德·舒尔茨称作三项公式，是分析所有干涉探测器对信号响应的出发点。
在最简单的情形下（引力波振幅恒定，传播方向与激光传播方向垂直），激光在一个干涉臂内往返N次得到的时间变化为

$\Delta \tau = h\frac{2NL}{c}\,$

相应可得到激光的相位变化（一般来说，讨论干涉臂的长度变化、激光往返的时间变化，以及激光相位变化都是等效的，纯粹根据场合的需要）：

$\Delta \phi = \frac{2\pi c}{\lambda} \Delta \tau = h\frac{4\pi NL}{\lambda}$

这些关系都表明干涉臂越长，其干涉效果就越明显，但实际中太长的干涉臂会引入更多的震动噪声影响地面探测器的观测。

干涉仪

以目前最大的激光干涉引力波天文台LIGO为例，双臂长度为4千米。干涉仪与引力波相互作用的关系可由三项公式近似给出：

$\frac{dt_{return}}{dt} = (1 -\cos{\theta})^2 L \dot h(t)$

则长度为4千米的干涉臂由振幅为10-21的引力波引起的长度变化为：

$\delta l_{GW} \sim hl \sim 4\times 10^{-18} m$

激光只需$10^{-5}\,$秒就可以走完干涉臂的往返距离，这个时间比一般典型的引力波周期要短很多。因此，让激光在这段距离内反复多走几次也不会影响观测，而且有显著的好处。如果让激光在这段距离内往返100次，则有效光程长度提高了100倍，而特定激光相位变化等效的长度变化也因此提升到$10^{-16}\,$米的量级。大多数干涉探测器都使用低透射率平面镜制成的光学腔，即所谓法布里-珀罗谐振腔，来提升激光在干涉臂内的往返次数。

对干涉探测器而言，主要的噪声源包括：

LIGO的主要噪声曲线，可以看到在低频、中频和高频区域的主导噪声分别为震动噪声（seismic）、摆的热噪声（suspension thermal）和散粒噪声（shot）

• 震动噪声

震动噪声主要来自外界的机械振动，这种噪声在棒状探测器中同样存在，但在干涉探测器中显得更突出。原因是因为干涉仪中激光在镜面上来回反射传播，每一次反射都会在原有噪声的基础上加入新的镜面引起的震动噪声。在高于10赫兹的频域上，震动噪声的振幅频谱由下式近似给出：

$\delta l_{seismic}(f) = 10^{-9} \cdot (10Hz/f)^2 \,$，单位是$(m/\sqrt{Hz})\,$

这样得到在频率为100赫兹处的震动噪声为$10^{-11}m/\sqrt{Hz}\,$，这个值远高于LIGO所需的灵敏度。解决方案之一是将测试质量置于一个悬挂的摆上，摆本质上是一个很好的机械滤波器，能够在一定程度上滤掉比其共振频率更高的高频信号。一般干涉探测器所用摆的共振频率在1赫兹左右，高于1赫兹的频域内摆具有$1/f^2\,$的传递函数，这使得震动噪声在高频范围内以$1/f^4\,$的行为递减。尽管如此在不太高的频域内这种降噪仍然没有达到要求，因此实际中采用了N阶摆以实现传递函数为$1/f^{2N}\,$的滤波。LIGO所用的震动噪声隔离系统被称做质量-弹簧堆栈（Mass-Spring "Stacks"或Mass-Spring Layers），它能够实现准各向同性的噪声隔离。在低频区域（10赫兹以下）震动噪声上升趋势非常显著，成为地面干涉探测器灵敏度可达到的极限，这是低频引力波只能在宇宙空间中探测的主要原因。

• 热噪声

平面镜和摆的振动噪声对干涉探测器的灵敏度有很大影响，因此与棒状探测器相反，干涉探测器专门探测远离其共振频率的引力波信号。在中频区域（50至250赫兹），地面干涉探测器的灵敏度主要受到悬摆和测试质量的分子布朗运动的影响，这些在做布朗运动的分子处于20摄氏度的平衡态，分子的每一种振动模式具有$kT\,$的内能，k是玻尔兹曼常数。这些内能对外表现为悬摆和测试质量的随机运动，随机运动随频率的分布由系统的品质因数决定。具有振动频率$f_0\,$的模式在测试质量上所形成的热噪声由下式给出：

$\delta l_{thermal} = \left( \frac{kT}{2\pi^3MQf_0^3} \right)^{1/2}$此式的成立条件是振动频率$f_0\,$远离待测的引力波频率。

由此可知冷却降温和增大测试质量都是降低热噪声的手段，其中增大测试质量对降低下文中提到的量子噪声也有帮助。在实际运行中占主导地位的热噪声来自悬摆而不是测试质量，如果能够经过调节使系统的品质因数足够高（$>10^7\,$），这些能量能够被限制在共振频率附近很窄的频带内，而共振频率则远离测量频率的频带，从而在测量频率上热噪声的振幅可以足够小，也使得干涉仪能够工作在20摄氏度的室温。对于升级后的Advanced LIGO，测试质量的材料将用蓝宝石取代现在的熔凝石英，摆线的材料将用熔凝石英取代现在的钢丝，以达到提高品质因数的目的。

• 散粒噪声

散粒噪声是受量子涨落影响的主要读出噪声。由奈奎斯特定理，测量频率为$f\,$的引力波信号，需要每秒至少做$2f\,$次测量，因此一次累积光子的时间可设为$1/2f\,$。对功率为$P\,$的光信号，可以得到数量为$N=\frac{P/(\frac{hc}{\lambda})}{2f}$的光子。由于这些用来测量的光子是量子化的，它们到达光接收器的行为是一个遵循泊松分布的随机过程，因此它们会随机地影响光强分布产生随机涨落，这种随机涨落叫散粒噪声，有可能会淹没真正的引力波信号或形成看上去像引力波信号的伪信号。不过作为一个随机过程，随机涨落的标准差的增长并没有光子数量增长的速度快，理论上标准差和光子数量的平方根成正比，结果就是散粒噪声和光子数量的平方根成反比。也就是说积累的光子数量$N\,$越多，得到的干涉信号就越平滑。如果使用波长为1毫米量级的红外线，测量精确度可达到：

$\delta l_{shot} = \lambda/(2\pi\sqrt{N})$

虽然从散粒噪声的角度而言积累的光子数量越多越好，但由于奈奎斯特定理的限制，一次积累光子的时间不能太长，否则太低的采样频率会造成频率混叠，因此提高灵敏度只能靠提高激光功率。如果要求测量误差低于$10^{-16}\,$米，需要的功率值比现在能得到的任何连续谱激光功率都要高。解决这个问题的途径叫做光功率回收技术（power recycling）：通常情况下干涉仪发出的激光都会返回输出的激光器，只有当有引力波信号时才会返回干涉传感器，因此只有很少部分（少于千分之一）激光在被平面镜反射时被消耗。通过在激光前放置一面用于功率回收的平面镜，能够将耗散的激光反射回激光器中，这样使得激光功率重新得到积累，直到激光器功率几乎不能支持因反射造成的消耗时再重新放出。通过这种技术能够有效降低对激光器功率的要求，例如当前LIGO只需使用8瓦特的连续谱激光，现代激光技术已经完全能够满足这一条件。

散粒噪声与干涉臂长无关，而增加臂长可有效提高信噪比，因此从散粒噪声的角度而言干涉臂越长越好；但震动噪声会因臂长增加而增长，因此单纯增长臂长的方法不能无限制使用。另一方面，尽管散粒噪声作为一种位置涨落与光子数量平方根成反比，由于海森堡不确定关系的存在，使得光子动量的涨落和光子数量平方根成正比，这种动量涨落总体上表现为光子的辐射压力导致的位移，因此这种情形带来的噪声被称作辐射压力噪声。由于普朗克常数很小，即使激光功率达到200瓦特时这种噪声仍然低于一般干涉探测器的灵敏度，但对于新一代探测器（例如Advanced LIGO）而言这意味着激光功率太高也会带来问题。新一代的Advanced LIGO在设计中将采用更大的测试质量，从而降低光子的辐射压力。散粒噪声随着频率升高而变得明显，决定了地面干涉探测器在高频区域（250赫兹以上）的灵敏度极限。

• 其他量子效应

散粒噪声是一种量子效应，此外还存在类似于棒状探测器表面出现的量子噪声，例如平面镜表面零点能的振动等，这种量子噪声的极限都由海森堡不确定关系$\Delta x \Delta p > \hbar/2\,$决定。这类噪声在当前仍然在干涉仪的灵敏度极限以下（$\sim 10^{-25}\,$），但在未来随着灵敏度进一步的提高，这类噪声的影响可能变得更为显著。增大平面镜的质量是降低这类噪声的手段之一，因为从谐振方程得到振动的振幅和质量的平方根成反比。

• 引力梯度噪声

引力梯度噪声来源于局部的牛顿引力场的变化，引力波探测器对来自局部的源和来自引力波的潮汐力都能产生响应，这些局部的源包括人造的源（如仪器、车辆等外界干扰）、地震波以及空气密度变化引起的气压变化等 。在频域上噪声的频谱随着频率升高急剧下降，因此对于现在的干涉仪这不是一个问题，但有可能会对下一代干涉仪的灵敏度造成限制。

引力波干涉探测器

LIGO汉福德观测台（LHO）的北干涉臂

最大的激光干涉引力波天文台LIGO主要由加州理工学院和麻省理工学院负责运行，也是美国国家科学基金会资助的最大科研项目之一。LIGO在两个站点建造有三台探测器，在华盛顿州的汉福德（Hanford46°27′28″N 119°24′35″W）建有双臂长度分别为4千米和2千米的两台探测器（LIGO Hanford Observatory，简称LHO），而在路易斯安那州的利文斯顿（Livingston30°29′55″N 90°44′54″W）建有一台长度为4千米的探测器（LIGO Livingston Observatory，简称LLO），相距汉福德3002千米，方向与位于汉福德的探测器尽可能保持平行。LIGO使用了经谐振腔预稳频、功率为8瓦特的Nd:YAG激光，内部为超高真空的探测器双臂，以及高度精密的准直测量控制系统。2002年起LIGO正式启动数据采集工作，至2007年已经执行了五次科学探测工作，其灵敏度在150赫兹已经达到$10^{-22}\,$的量级。LIGO迄今为止进行的五次科学探测的一些具体情况为：

探测编号	起止日期	累积数据（小时）	观测范围（兆秒差距）	符合数据所占百分比（%）	同时进行相关测量的探测器
S1	2002年8月23日 - 2002年9月9日	116	0.08	28	TAMA、GEO
S2	2003年2月14日 - 2003年4月14日	431	0.3	31	TAMA
S3	2003年10月31日 - 2004年1月9日	316	5.0	19	TAMA、GEO、Allegro
S4	2005年2月22日 - 2005年3月23日	447	8.6	63	GEO、Allegro、Auriga
S5	2005年11月4日 - 2007年10月1日	8760	16.3	70	GEO、VIRGO

其中观测范围是指质量为1.4倍太阳质量、处于旋近态的双中子星具有信噪比等于8，并对所有方向取平均时的距离对应值；符合数据所占百分比是指LHO和LLO同时观测得到的符合数据占所有数据的百分数；Allegro和Auriga是分别位于美国和意大利的共振质量探测器。

第五次科学探测（简称S5）自2005年11月4日起到2007年10月1日结束，共采集了时间约为一年的符合数据，是LIGO至今测量时间最长的一次，观测距离达到了10兆秒差距以上，范围涵盖银河系外几百个星系之遥，据计算LIGO在S5中有能力观测到距离约为16.3兆秒差距的双中子星的引力辐射。与LIGO同时进行S5符合观测的还有VIRGO和GEO600。在未来几年内LIGO将进行两次重要的升级：第一次是为将于2009年进行的S6而升级为Enhanced LIGO，激光功率提高到30瓦特以上，其探测范围可扩大8倍 ；第二次计划将在2014年之前升级为Advanced LIGO，届时激光功率将被升高到180瓦特左右，灵敏度将比当前进一步提高一个数量级，观测范围扩大1000倍以上 。
VIRGO位于意大利比萨附近的Cascina，是一架双臂长度为3千米的地面激光干涉探测器，所在地点也叫做欧洲引力波天文台（European Gravitational Observatory）。VIRGO自2007年起开始进行科学观测（参与了S5的最后部分探测工作），具有和LIGO相媲美的灵敏度。 GEO600是位于德国汉诺威，双臂长度为600米的探测器，其工作带宽为50赫兹至1.5千赫兹。GEO600自2002年起开始科学探测。个人通过下载运行Einstein@Home这个软件可以在个人电脑上帮助分析LIGO和GEO600的脉冲星数据。

来自太空的探测

对脉冲星信号计时误差的观测是当前确定低频引力波场能量密度上限的重要方法

航天器测距

美国国家航空航天局和欧洲空间局都在进行这类实验：通过监测行星际航天器的通信信号的返回时间来观测引力波的特征影响。例如对于位于木星和土星的航天器，其信号返回时间在$2-4\times 10^3$秒的数量级。根据三项公式，任何时间长度小于此返回时间的引力波事件会在时间延迟中出现三次：一次是引力波经过地面的发射器，一次是引力波经过航天器，一次是经过地面的接收器。搜寻这样的引力波信号需要在数据分析中采用模式匹配算法。应用两个不同的发射频率和很精确的原子钟，据推测可以达到$10^{-13}\,$量级的灵敏度，并有可能进一步提高到$10^{-15}\,$。

脉冲星计时

很多脉冲星，特别是年老的毫秒脉冲星，是非常精确的时钟，其随机的计时误差需要用最好的原子钟才能测量出。当有低频引力背景辐射扫过地球时，引起的时空扰动会引起地球上的时钟和遥远的脉冲星计时上的偏差。由于脉冲星发射信号的高度规律性，可以从观测到的单个脉冲星的计时误差导出随机背景引力波场中的误差上限。这里三项公式化简为两项，因为信号只是从脉冲星向地球单向传播。不过，由于信号从脉冲星传至地球的时间间隔可以是上千年，这导致我们无法认为对于同一个信号而言公式中的两项仍然是相关的。这种观测手段已经被用来确定低频随机引力波场的能量密度上限。

激光空间干涉

在低频波段（<1赫兹），地球上的震动噪声比来自任何引力波源的低频引力波到达地球时的振幅都要高很多，但一个处于太空中的探测器不会受到地球上噪声环境的影响。由美国国家航空航天局和欧洲空间局合作研究中的LISA计划，将探测频率波段为$3 \times 10^{-5}$赫兹至0.1赫兹的低频引力波（目前负责此项计划的喷气推进实验室在其网页上还只是将LISA列为计划中的项目，尚未给出明确的发射时间表。）。LISA由三个相同的航天器组成一个边长为五百万千米的等边三角形，整体沿地球轨道绕太阳公转。LISA探测的引力波源包括银河系内的双星系统，致密星体绕大质量黑洞的绕转，河外星系中心超大质量黑洞的合并等等。LISA的灵敏度在$3 \times 10^{-3}$赫兹频率上可达到$10^{-21}\,$，这相当于有能力在五百万千米的长度上观测到10皮米的长度变化，对于红移为1的事件其观测信噪比可达1000以上。

LISA的干涉臂长超过任何频率高于30毫赫兹的引力波的半波长，在这个范围内三项公式成立。当有引力波扫过LISA的任意一条边时，总能与其他两边的激光分别形成干涉，理论上这两个干涉信号经过所谓时间延迟干涉的各种特定组合即可消去激光的相位噪声得到引力波信号。这是因为LISA本质上是一架不等臂的迈克耳孙干涉仪，其干涉效果会受到激光频率噪声的影响，而在理论上要完全消除频率噪声的影响只有采用时间延迟干涉的特定组合。与地面干涉仪不同的是，由于航天器相距很远，激光在传播途中的大幅衰减造成LISA不能使用单纯的平面镜来反射激光，而是将采用光学锁相的办法，将要发射信号的相位锁至接收信号的相位上再将其发射出去。这一过程原理上是一个光学收发机，其效果和地面干涉仪的平面镜反射是相同的，本质上相当于激光从一个航天器发射，到达另一个航天器后再返回，这个延迟信号与本地的原始信号发生干涉，LISA主要就是测量这种干涉信号的相位。与地面探测器不同，由于在宇宙中来自外界的影响已经非常小，LISA的主要噪声源是LISA自身激光的频率（相位）噪声，因此如何稳定激光的频率是直接关系LISA观测结果的重要研究之一。除了使用光学谐振腔的预稳频和时间延迟干涉来消除噪声外，由于LISA的干涉臂长和激光频率相比稳定很多，因此可以利用LISA的干涉臂长作为参考来锁定激光的频率。这种方法也是一种自动控制，并且这种控制系统的带宽不会被激光在航天器间的往返时间（约33秒）所限制，从而在消噪上减轻时间延迟干涉的负担。

LISA的基本组成为干涉测量系统（Interferometry Measurement System）和降扰动系统（Disturbance Reduction System）。激光在航天器发生干涉后在光检测器上得到的是频率为20兆赫兹的差频信号，这个模拟信号经过电子器件的放大后，在约60兆赫兹的采样频率下进行模数转换，得到的数字信号进入相位测量器件（Phasemeter）。相位测量的基本过程是一个数字滤波，测量得到的相位经过下抽样后采样频率为3赫兹，这些数据通过无线电传送回地面，其后这些数据还要在地面上做进一步的处理，以消除激光相位噪声和时钟误差等影响。对LISA而言来自外界的影响主要是太阳辐射的光压和太阳风等离子体，为了减小这些影响，LISA使用了航天器本身作为测试质量（在LISA中称作检验质量）的防护罩，检验质量是一个与航天器相对静止并不受外界作用力的金铂合金立方体，而航天器能够对检验质量的位置作出精确的监测和控制。这使得检验质量成为一个沿着测地线运动的自由落体，这是根据对广义相对论实验验证的需要。对于LISA而言，能够连续几年稳定发射功率1瓦特左右的红外激光即可满足对光源的要求。

引力辐射源

引力波辐射的估算

对引力波源的研究是引力波天文学的重要理论课题之一，主要包括预言从特定的引力波源会发射出怎样的引力波，这是引力波探测器的设计依据，也为对探测结果进行数据分析提供了波形的模板。

引力波振幅上限的估算

一个典型系统的四极矩分量$Q_{ij}\,$具有$MR^2\,$的量级，这里M是系统的质量，R是系统的尺寸半径，因此可以认为这一分量对时间的二阶导数具有$Mv^2\,$的量级，其中$v^2\,$是系统内部引起引力辐射的运动速度的平方。则代入四极矩公式可得辐射的引力波强度为

$h \sim \frac{2Mv^2}{r}$

注意到这里$\frac{M}{r}\,$就是波源外部距离为r处的牛顿引力势，引力波强度与外部引力势$\phi_{ext}\,$的比值$\epsilon\,$为

$\epsilon \sim 2 v^2\,$

根据自引力系统的位力定理，这个比值不能大于

$\epsilon < \phi_{int}\,$

这里$\phi_{int}$是波源内部牛顿引力势的最大值。这样得到了一个很方便实用的估算引力波振幅上限的方法：

$h < \phi_{int}\phi_{ext}\,$

对于一个在室女座星系团内放出引力辐射的中子星，则可估算出其引力辐射的上限为$5 \times 10^{-22}$。几十年来这种方法一直被用来估算对引力波探测器的灵敏度要求。

LIGO和LISA主要探测的波源频域分布

引力波频率上限的估算

对某些特殊的引力波源而言，其引力辐射频率是受波源运动直接制约的，例如一个自转的脉冲星的引力辐射频率是其自转频率的两倍。但对大多数双星系统，引力辐射频率和其自然频率相关，自然频率定义为

$f_0 = \sqrt{\overline{\rho} \over 4\pi}$

这里$\overline{\rho}$是波源的能量-质量的平均密度。对双星系统这个频率和其轨道频率有相同的数量级。

很显然波源的自然频率被其质量M和尺寸半径R所决定，对球体而言有$\overline{\rho} = \frac{3M}{4\pi R^3}$。对一个质量为1.4倍太阳质量，半径为10千米的中子星，其自然频率为1.9千赫兹；对一个质量为10倍太阳质量，视界半径为30千米的黑洞，其自然频率为1千赫兹；而对于质量为$2.5 \times 10^6$倍太阳质量，位于银河系中心的超大质量黑洞，其自然频率为4毫赫兹，因为其密度反而更低。从自然频率估计的引力辐射的频率一般来说量级上正确，本质上是一个快捷但很粗略的估计，得到的都是其真实频率的上限。

典型的引力辐射源

双星系统的引力波

双星系统绕质心运动的示意图，在牛顿力学中这个轨道总是稳定的，但在相对论力学下引力辐射会造成轨道的缓慢收缩

能够辐射可观测量级引力波的密近双星系统包括白矮星、中子星和黑洞等致密恒星组成的双星系统，例如黑洞双星、黑洞-中子星、双中子星、双白矮星等等。它们具有很大且随时间变化的四极矩，对LIGO等地面探测器和空间探测器LISA而言都是重要的引力波源，也是至今唯一由间接观测证实的引力波源（PSR 1913+16）。从总体上看，双星系统的引力辐射过程实际是一个双星逐渐接近结合（coalescence）的过程，这一过程按顺序分为旋近（inspiral）-合并（merger）-自转减缓（ringdown）三相。点这里观看双星系统合并的示意影片

在旋近态中双星仅因为引力辐射损失动能，造成其轨道以很缓慢的速度发生衰减，两颗恒星逐渐接近；换句话说是它们发生引力辐射的时间尺度远大于其公转周期，因此这一过程被认为是绝热的，最常用的预测波形的方法即是后牛顿近似方法。从引力波的频率估算方法可知，双星系统的辐射频率与其自身密度的平方根成正比关系。地面探测器可探测的双星包括中子星和恒星质量黑洞，LISA则负责探测白矮星等未知双星和超大质量黑洞。假设两颗具有相同质量M的星体在半径为R的圆轨道上相互绕转，则系统具有非轴向速度$v^2 = \frac{M}{4R}\,$，由此估算得到的引力波振幅量级为

$h_{binary} \sim \frac{1}{2} \frac{M}{r} \frac{M}{R}$

其中r是波源到探测器的距离。 引力波的光度估算为

$L_{binary} \sim \frac{1}{80G} \left( \frac{M}{R} \right)^5$

在国际单位制下，实际上的光度还需要再乘以被省略的系数$c^5/G = 3.6 \times 10^{52}\,$瓦特，相比之下，太阳的光度只有$3.8 \times 10^{26} \,$瓦特。这意味着对于某些距离地球较近的双星，其向地球发射的引力波携带了比其发射的电磁波（光）更多的能量。
轨道运动辐射的能量会造成轨道的收缩，其结果是观测到发射的引力波频率随时间增长，这种波叫做啁啾（chirp）信号。估算得到的啁啾的时间尺度为

$t_{chirp} = \frac{Mv^2}{L_{binary}} \sim 20 M \left(\frac{M}{R} \right) ^{-4}$

计算可得这个时间尺度远大于双星的公转周期，因此可以认为旋近是一种绝热演化。 更精确的计算表明对于不等质量的双星，其四极矩的振幅和轨道收缩率与系统的啁啾质量有关，啁啾质量定义为

$M_{chirp} = \mu ^ {3/5} M^{2/5}\,$

其中$\mu\,$是系统的折合质量，而M则是总质量。这实际表明是折合质量和总质量共同决定了双星系统的频率以多快的速度扫过频带。经详细计算得出的圆轨道双星系统的引力波振幅为

$h = 2 \left( 4 \pi \right) ^{1/3} \frac{G^{5/3}}{c^4} f_{GW}^{2/3} M_{chirp}^{5/3} \frac{1}{r}$

其中$f_{GW}\,$是引力波的频率，计算并未考虑红移。对于更一般的椭圆轨道其形式更为复杂。
如果能够观测到啁啾的时间尺度，则可以推算出双星的啁啾质量；进而可以从啁啾质量和观测到的引力波振幅推算出双星到地球的距离，这意味着将有可能进一步借此测量哈勃常数和其他宇宙学常数。
随着双星系统的轨道衰减逐渐加快，绝热近似不再适用，这样双星系统进入合并态：两颗恒星接近后发生猛烈的接触合并成一个黑洞，并有相当部分的质量以引力波的形式释放（但也有很大一部分质量由于角动量守恒的制约无法离开黑洞视界，从而在黑洞附近形成吸积盘，一般说法认为这有可能会导致伽玛射线暴的形成），这里后牛顿近似方法不适用，参见“恒星质量黑洞的引力波”；这个合并形成的黑洞随后进入自转减缓态，随着引力辐射黑洞的自转频率逐渐降低，最后稳定成一个克尔黑洞。

本质上，双中子星在宇宙中的数量相对稀少，在可观测的范围内它们的数量要少于中子星-白矮星组成的双星系统，更少于宇宙中广泛存在的低频（$10^{-5} - 10^{-1}Hz\,$）的双白矮星系统。这些双白矮星在数量上和寿命上都要远大于像PSR1913+16这样处于轨道收缩态的双中子星。这是由于大多数恒星都具有较小的质量，而大多数恒星又都是双星。在据估计LISA有可能发现上千个这样的双白矮星系统，其发现概率远大于地面探测器对双中子星的探测期望。不过事实上，银河系内太多的双白矮星系统会形成频率低于1毫赫兹的背景噪声，这种背景噪声叫做迷惑噪声（Confusion Noise），它将高于LISA本身的仪器噪声，但这些噪声不会影响对较强的黑洞信号的探测。而河外星系的双白矮星则由于振幅太低，尽管也能够形成高至1赫兹频率的背景噪声，其程度仍然远在LISA的仪器噪声之下。

脉冲星的引力波

蟹状星云，蓝色部分为钱德拉X射线天文台拍摄的X射线图像，红色部分为可见光图像，其星云中心附近存在一颗年轻的脉冲星PSR J0534 + 2200，是被寄予很大希望证实为引力波源的天体之一

对于一颗独立自转的中子星（脉冲星）而言，成为引力波源的必要条件为其质量（或质量流）分布存在不对称性，否则一个对称的球体自转时四极矩对时间的二阶偏导数为零。非对称性的来源机制包括两类。
第一种情形是相对于星体固定的非对称性，可能的机制包括

• 星体本身即是非完全对称的类球体（例如球状星团Terzan 5内部的脉冲星PSR J1748-2446ad，自转频率716赫兹，是已知自转最快的脉冲星）
• 脉冲星的磁场方向与其自转轴方向不一致（例如PSR1828-11）
• 恒星吸积导致的非对称性（典型例子即低质量X射线双星，例如天鹅座X-1）

假设一颗半径为R的中子星的自旋频率为f，并且在某个方向上具有使其形状不对称的质量m，其引力波辐射频率为自转频率的2倍，即2f。但脉冲星也有可能辐射其他频率的引力波，例如正在发生进动的脉冲星会同时发出频率为（或接近为）f和2f的引力辐射。由于脉冲星的自转频率是高度稳定的，其引力辐射的频率也高度稳定在一个很窄的频域内。从非轴向速度$v = 2 \pi R f\,$估算得到其引力波振幅为

$h_{pulsar} \sim 2 \left( 2\pi R f \right)^2 m /r$

实际计算中常用的振幅公式为

$h_{pulsar} = \frac{16\pi^2G}{c^4} \frac{\epsilon I_{zz}f^2}{r}$

其中$I_{zz}\,$是星体相对于自转轴的转动惯量，$\epsilon = (I_{xx} - I_{yy})/I_{zz}\,$是星体的非对称性，r是源点到场点的距离。 由此得到的光度为

$L_{pulsar} \sim \frac{1}{5} \left( 2 \pi f \right) ^6 m ^2 R^4$

这一辐射能量如果认为将完全来源于星体的自转能量，则估算出的星体自转减慢（spindown）态的时间尺度为

$t_{spindown} = \frac{1}{2}m v^2 /L_{pulsar} \sim \frac{5}{4\pi} f^{-1} \left( \frac{m}{R} \right)^{-1} v^{-3}$

现在一般认为中子星的壳层不足以支持质量超过$10^{-5}\,$倍太阳质量的非对称性，例如LIGO的预期波源，PSR J2124-3358，其估算出的非对称性上限为总质量的$1.1 \times 10^{-7}\,$。从这一点估算出的自转减慢态的时间尺度比实际长太多。因此看来引力辐射并不足以成为中子星自转减慢的主要原因。 以蟹状星云内部的年轻脉冲星PSR J0534 + 2200为例，其非对称性小于总质量的$3\times10^{-4}\,$，引力波的振幅上限约为$6\times10^{-25}\,$；而对于较老的毫秒脉冲星，非对称性只有总质量的$10^{-9}\,$左右，如果距离地球1秒差距，估算得到的振幅上限量级为$10^{-28}\,$，虽然这些典型的振幅都远低于LIGO的灵敏度，但通过较长时间的相关测量则可以找到其对应的相关信号。
第二种情形是非对称的部分相对于星体是运动的，典型的例子即是中子星r模式的不稳定性，也被称作中子星上的罗斯比波（Rossby Wave），这个名称来源于其机制类似于地球表面的科里奥利力。这种情形下的引力辐射频率理论上与中子星自转频率的关系近似为

$\omega = -\frac{(l-1)(l+2)}{l+1} \Omega\,$

这实际是连带勒让德方程的本征值。对于四极矩展开项$l = 2\,$，可得引力辐射频率是自转频率的4/3倍。

引力坍缩和伽玛射线暴的引力波

中子星的形成来源于超新星的引力坍缩，超新星内核的坍缩速率可达每秒七万千米。这种引力坍缩并不是高度对称的，这一点已经在对超新星SN 1987A的观测中得到证实。因此这种引力坍缩会产生一种持续时间很短且无周期性的引力波的突发信号（burst），并伴随有电子俘获和中微子输运的过程。但引力辐射的波形和振幅都很难从理论上预测，一般认为只有数值模拟的方法。这种突发信号可能频带很宽，中心频率在1千赫兹；或者有可能是在100赫兹到10千赫兹之间任意一个频率的周期性啁啾信号。理论上估计如果其发射的能量要大于0.01倍太阳质量，现在的地面探测器则有可能观测到发生在室女座星系团之内的这类事件。但事实上到底有多大比例的能量在辐射中被释放仍然是一个未能解决的问题，现在一般认为辐射能量不会超过超新星总质量的$10^{-6}\,$，这样看来当前的探测器还没有能力探测到河外星系内的超新星爆发。不过这类事件在银河系内的发生概率大概有几十年一次，计算得到其对应距离为10千秒差距的引力坍缩辐射的引力波振幅约为$10^{-20}\,$，持续时间为几个毫秒，新一代地面探测器的灵敏度应该可以达到相应的水平。

大质量恒星坍缩为黑洞的过程是伽玛射线暴的产生原因吗？

伽玛射线暴是短时间（几毫秒至几分钟）内极高强度的伽玛射线辐射，按持续时间分为长短两类。从大多数观测得出的结论支持伽玛射线暴是伴随高速自转的黑洞的诞生而产生的说法，果真如此的话这种高速自转的非对称性结构将有可能形成相对于引力坍缩高度稳定的引力辐射，因而有可能在观测到其明亮的电磁辐射的同时探测到相应的引力辐射。不过这种事件应该并不多见，因而需要一个很广的观测距离（至少约3吉秒差距），以及相当比例的辐射能量。不过于2007年2月发生的一次短伽玛射线暴，来自仙女座星系方向的GRB070201，并没有被LIGO在S5中探测到有引力辐射的存在。这可能是因为GRB070201发生在比仙女座星系更遥远的地方，但也可能暗示着伽玛射线暴并非源于黑洞或中子星的形成过程，而来自如磁星这样带有极强磁场的软伽玛射线复发源。

恒星质量黑洞的引力波

天文学家现在认识到宇宙中存在数量丰富的黑洞，通过对电磁波谱的观测已经确认了某些存在于银河系内X射线双星系统内的恒星质量黑洞，以及某些著名的河外星系中心的超大质量黑洞。这两类黑洞的质量非常不同，也造成它们的引力辐射的机制和频率存在很大差别：恒星质量黑洞一般具有10倍左右太阳质量，一般形成于红巨星或超新星爆发时内部的引力坍缩；大质量和超大质量黑洞的质量则在$10^5 - 10^{10}\,$倍太阳质量范围内，其形成机制至今还不十分清楚。黑洞的视界半径$R=2M\,$，则其自然频率由下式决定：

$h_{BH} \sim 2800 \left( M/10M_{\odot} \right)^{-1}Hz\,$

这表明黑洞双星的自然频率和其质量成反比。恒星质量黑洞的引力波频率在地面探测器所观测的范围内，而超大质量黑洞的引力波只能从LISA这样的空间探测器捕捉到。

NASA超级计算机模拟得到的黑洞双星开始合并的情形

恒星质量黑洞的引力辐射一般认为来源于双星系统（其中至少有一个是黑洞）的旋近-合并-自转减缓这一系列过程，这和双中子星等其他双星系统的引力波辐射机制是相同的。在旋近态中，两个黑洞的距离相当远（$r>>4M\,$），并以很缓慢的速度逐渐接近。如果黑洞系统的可观测性完全依赖于伴随着轨道衰减产生的引力辐射，那么和所有双星系统一样，后牛顿近似完全足够解决此类问题。不过当黑洞双星的距离逐渐拉近，直到其轨道缩减为最内稳定圆轨道（Innermost Stable Circular Orbit，简称ISCO）时，黑洞掉入彼此的视界之内，双星从旋近态向合并态转变。这种相变是完全的相对论效应，在牛顿力学中不会有此情况出现，因此后牛顿近似在这里完全不适用。黑洞的合并必然会伴随有引力波的突发信号放出，在目前分析这种信号只能采用数值相对论模拟的方法，并且有很多实际计算困难。而且对于质量超过50倍太阳质量的黑洞，旋近态终止时的频率是最后稳定轨道的公转频率，这个值大概只有黑洞自然频率的0.06倍，约30赫兹。这个频率已经接近地面探测器的低频极限，即使仅是探测到此类事件也需要对波形进行一些预测，因而黑洞合并数值模拟的结果对这种引力波的探测有重要意义。合并后系统进入自转减缓态，两个黑洞的视界合并成一个，黑洞双星以类似阻尼振动的形式放出引力辐射，逐渐稳定为一个单独的克尔黑洞，此过程的时空度规可以用对克尔时空的线性微扰理论解出。自转减缓态的一个特征是它具有在数学上为复数的自转频率，即复数频率的实部是特征频率，虚部是阻尼因子；理论上克尔黑洞的质量和角动量完全决定了所有可能的复数频率，这些频率是离散的并且有无穷多个，统称为黑洞的准简正模式（Quasi-normal modes），而黑洞的自转则可用这些准简正模式的线性叠加来描述。

虽然宇宙间黑洞的数量要低于中子星，但据估计在空间尺度上两个黑洞构成的双星系统数量反而要比中子星的双星系统多，主要是因为中子星的双星系统相对黑洞双星系统而言不容易形成。有说法认为球状星团是形成黑洞双星的高效工厂，如果事实如此，那么宇宙间黑洞双星的数量可能会比中子星双星的数量高十倍左右。由于球状星团内部的黑洞质量大于恒星的平均质量，黑洞会逐渐向星团中心运动，在中心三体的相互作用是双星形成的主要机制。值得注意的是，这类双星系统与球状星团的引力束缚并不强，其结果就是双星有可能脱离星团开始独立演化，其稳定时间一般在$10^{10}\,$年之内。现在的研究对于恒星质量黑洞的合并几率还不很确定，但一般认为在15兆秒差距的范围内每年至少会发生几次。

甚至有推测认为，黑洞双星有可能是宇宙间暗物质的一部分：朝大麦哲伦星云方向的微引力透镜观测表明银河系的星系晕中有相当部分由大质量致密晕天体（MACHOs）构成，这些天体几乎不放出任何电磁辐射，因此探测它们只能依靠微引力透镜等手段。现在还不十分清楚这些存在于星系晕的晕族大质量致密天体到底是什么，有可能是黑洞、中子星或褐矮星。据认为有多至一半的星系晕可能来源于质量为0.5倍太阳质量的致密暗物质天体。这一推测从恒星演化的角度来看很难理解，因为黑洞和中子星的质量要大于0.5倍太阳质量，而具有此种质量的白矮星应该足够亮到可以被识别为引力透镜的程度。一种可能的解释是在能够形成黑洞的外界条件下由于恒星质量较低因而形成了这类小质量的致密星体。如果这种解释正确，则人类可期望观测到在这类星体周围的一系列双星的合并，并且在一个星系内双星的合并几率可达到每20年出现一次，高于超新星爆发的几率。

大质量和超大质量黑洞的引力波

哈勃太空望远镜拍摄的双天线星系，星系的碰撞很有可能导致其中心超大质量黑洞的合并

来自大质量和超大质量黑洞（即“星系质量”）的引力辐射存在两种形式：一种是超大质量黑洞的合并，即恒星质量黑洞合并的加强版，由于质量很大引力辐射的频率很低，但振幅却相当高。因为有效信号振幅和黑洞质量基本成近似线性关系，在相同距离下质量为$10^6\,$倍太阳质量的大质量黑洞的引力辐射振幅约为10倍太阳质量的黑洞引力辐射的$10^5\,$倍（$h \sim 10^{-17}\,$）。这意味着空间探测器对于这类信号会具有非常高的信噪比，无论这类波源位于宇宙间哪个角落。现在一般认为在大多数星系中心都存在质量至少在$10^6\,$倍太阳质量以上的大质量或超大质量黑洞，它们被认为是类星体和活动星系的动力源，并有证据表明超大质量黑洞的质量与其宿主星系核的质量成正比关系。与恒星不同，星系的尺寸对于星系群内邻近成员的间距而言不是那么微不足道，两者甚至可以达到同一数量级，因此星系之间发生碰撞的概率相当高，典型的例子是乌鸦座的双天线星系（Antennae Galaxies），它是由两个正在发生碰撞的星系NGC 4038和NGC 4039形成的。星系的碰撞主要是引力的相互作用，没有恒星物质的实际接触，并且由于受角动量守恒限制，两个星系发生正碰的可能性不大，这意味着位于星系中心的黑洞很难与另一个星系中心的黑洞直接发生合并。不过仍然由于黑洞质量大于恒星的平均质量，它们会逐渐向碰撞后的星系中心漂移并最终发生碰撞，这一机制说明宇宙间超大质量黑洞合并的几率是相当高的。

小质量致密天体与星系中心的大质量黑洞形成的EMRI是LISA重要的探测波源之一

另一种情形是大质量黑洞对小质量致密天体的俘获所释放的引力辐射，这里的小质量致密天体包括白矮星、中子星、恒星质量黑洞和中等质量黑洞，这被称作极端质量比例旋（Extreme Mass Ratio Inspiral, EMRI）。而主序星和巨星由于并不那么致密，一般认为当它们接近黑洞时，来自黑洞引力场的潮汐力将对恒星表面物质产生吸积，从而激发这些物质表现出类星体现象。当一个致密星体碰巧接近星系中心的超大质量黑洞时它有可能被俘获，在围绕着超大质量黑洞公转的同时放出引力辐射，因此这也是一种旋近态。不过由于两者质量比例悬殊，这种旋近态的变化比一般的双星系统更为缓慢，从观测的角度来说，这意味着可以用长达数年的时间观测到同一种波形。这种引力辐射可近似为从一个克尔黑洞附近的一个质点放射出的啁啾信号，而质点的轨道有可能是高度偏心的（偏心率接近1）。随着引力辐射系统动能不断减少，这使得轨道的偏心率逐渐降低，在旋近态的后期有可能降低到0.4左右，在这段时间内EMRI的辐射频率稳定在LISA的测量频域之内。其波形包含了黑洞附近的时空几何信息，尤其有可能通过对黑洞质量和自旋的观测来验证黑洞的唯一性定理（无毛定理）。

EMRI的发生率与星系的构成方式关系不大，这使得LISA在一年的时间内有能力观测到这类事件上百次，距离最近的事件有可能在红移小于0.1之内，前提是理论研究能够对质点运动的轨道在数十个周期内做出较为精确的预测。但在理论上预测这种轨道并不那么容易，主要原因在于围绕克尔黑洞的高度偏心轨道有可能是混沌的，如果质点的运动轨迹远离黑洞的赤道平面轨道将变得非常复杂，有可能在整个视界内高速游荡。想要准确预测数十个周期内的轨道运动，需要定义好的初始条件以及多达14个用来区分不同运动且足够精确的参数，这就导致探测筛选这种信号需要一组数量非常庞大的波形模板，完全计算这些模板甚至超越了现有计算机的计算能力，这导致单纯的模式匹配算法很可能并不适用于此。至今最常见的EMRI波形的数值解法是由康奈尔大学的索尔·图科斯基（Saul Teukolsky）于二十世纪七十年代创立的图科斯基方程。

图科斯基方程在克尔几何的框架下应用微扰数值求解爱因斯坦场方程，实际对任何种类的微扰场都适用，其形式为

$\left[ \frac{r^2 + a^2}{\Delta} - a^2 \sin^2 \theta \right] \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} + \frac{4Mar}{\Delta}\frac{\partial^2 \psi}{\partial t\partial \phi} + \left[ \frac{a^2}{\Delta} - \frac{1}{\sin^2 \theta} \right] \frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2} - \Delta^{-s} \frac{\partial}{\partial r} \left( \Delta^{s+1} \frac{\partial \psi}{\partial r} \right)$

$- \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial \psi}{\partial \theta} \right) - 2s \left[ \frac{a(r-M)}{\Delta} + \frac{i\cos \theta}{\sin^2 \theta} \right] \frac{\partial \psi}{\partial \phi}$

$- 2s \left[ \frac{M \left( r^2 - a^2 \right)}{\Delta} - r - ia\cos \theta \right] \frac{\partial \psi}{\partial t} + s \left[ s \cot^2 \theta - 1 \right] \psi = 4\pi \Sigma \mathcal{T}$

其中s叫做自旋权重（spin weight），是一个与微扰场的自旋有关的量，在引力场的微扰下$s = \pm 2\,$；方程中其他物理量的含义请参考克尔度规。方程在频域内可作分离变量，现已用数值方法找到了各种特殊情形下的特解，所得的数值结果被统称为TB (Teukolsky-based)波形。

大爆炸的引力波

基于暴脹理论的星系起源，星系起源于最初质量密度的微扰，而这些微扰形成了今天的引力随机背景辐射

引力波自诞生起在宇宙中的传播至今就几乎没有衰减或散射，从引力子的角度看，是因为引力子具有非常小的散射截面。宇宙微波背景辐射揭示了大爆炸之后$10^5\,$年的宇宙状况，对太初核合成的研究揭示了大爆炸之后几分钟内的宇宙状况，而引力波的诞生则可以追溯到大爆炸之后小于$10^{-24}\,$秒的时间范围之内。对这种引力随机背景辐射（stochastic background radiation）的观测是引力波天文学最重要的课题之一。

与一般情形下的引力波用平均振幅描述不同，引力波的随机背景辐射通常用波场的能量密度描述，这种随机背景辐射可以来自任何天体（例如双白矮星等双星发出的迷惑噪声），也可以来自大爆炸。对于宇宙学中的场，一般要将这个场的能量密度归一化到宇宙的临界密度，由此定义

$\Omega_{GW} \equiv \frac{1}{\rho_c}\frac{d\rho_{GW}(f)}{d \ln f}$

这个量描述了随机引力波的能量密度按频率分布情况，则引力背景辐射的总能流密度由对$\Omega_{GW}\,$从频率0至正无穷的积分给出。$\rho_c = 3 H^2/8 \pi G\,$是弗里德曼方程下得到的宇宙临界密度值；H是哈勃常数，如果以千米/秒·兆秒差距为单位，现在一般认为这个值在50到65之间。尽管现在还不确定引力波场的能量密度的具体数值，在当代宇宙学的框架下背景辐射的能量密度受到太初核合成、微波背景辐射以及脉冲星计时的约束：太高的能流密度会破坏太初核合成理论的成立，太高的能量涨落则与实际各向异性非常小的微波背景辐射不符，而对毫秒脉冲星计时的观测证实了引力波的背景辐射强度不足以高到使脉冲星信号间隔发生可观测变化的程度。

早期宇宙的暴脹是一个令人感兴趣的图景，在暴脹模型中，引力子在普朗克时期内产生，并有可能按照引力场和其他场的自由度均分，这就形成了其温度相当于微波背景辐射的引力波的热背景辐射。其后宇宙进入暴脹时期，暴脹对最初质量密度的形成提供了足够大的微扰，这种机制使星系能够形成。而这些微扰则以引力场微扰的形式传播至整个宇宙形成了随机背景辐射。引力波形成的随机背景辐射被认为是各向同性、静态且无偏振的。而暴脹理论预言下的频谱是平坦的，即能量密度与频率无关。宇宙背景探测者（COBE）通过对微波背景辐射的观测得到在频率为$10^{-18}\,$赫兹处的能量密度上限为$3 \times 10^{-14}$，如果暴脹理论是正确的，这意味着对所有频率的背景辐射都具有相同的能量密度，这样低的能量密度导致现有的任何探测器都无法捕捉到暴脹的引力波信号。在不同于暴脹的其他模型下，例如宇宙弦（cosmic string）的振动也会产生能量密度与频率无关的引力辐射，而宇宙弦预言下的能量密度达到了当前可观测的量级。

对于这种信号LIGO在频率100赫兹的灵敏度为$10^{-5}\,$，但通过对两个探测器（例如LHO和LLO，或者LIGO和VIRGO，GEO600等）符合测量得到的结果进行互相关计算可提高到$10^{-6}\,$，因此互相关是搜寻此信号的重要手段。而Advanced LIGO在这个频率上的灵敏度预计可达到$10^{-9}\,$；LISA在频率1毫赫兹的灵敏度可达$10^{-8}\,$，但在实际观测中能否达到这个数值取决于双白矮星等产生的背景噪声是否会将随机宇宙背景辐射淹没。除此之外，r模式的中子星、双中子星和黑洞以及某些超新星爆发都有可能将频率高于0.1毫赫兹的宇宙背景辐射淹没。一般认为来自双星的背景噪声在低于10微赫兹的频率下快速降低，因此微赫兹量级的空间探测器可能是探测宇宙随机背景辐射的最佳手段。

延伸阅读

广义相对论基础

• Charles W. Misner, John A. Wheeler and Kip S. Thorne. Gravitation. W. H. Freeman. 1973. ISBN 978-0716703440. 
• Sean Carroll. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Benjamin Cummings. 2003. ISBN 978-0805387322. 
• James B. Hartle. Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity. Benjamin Cummings. 2002. ISBN 978-0805386622. 
• Bernard F. Schutz. A First Course in General Relativity. Cambridge University Press. 1985. ISBN 978-0521277037. 
• Robert M. Wald. General Relativity. University Of Chicago Press. 1984. ISBN 978-0226870335. 
• Stephen W. Hawking and George F. R. Ellis. The Large Scale Structure of Space-Time. Cambridge University Press. 1975. ISBN 978-0521099066. 
• Paulo A. M. Dirac. General Theory of Relativity. Princeton University Press. 1996. ISBN 978-0691011462. 

天体物理学和宇宙学

• Steven Weinberg. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. Wiley. 1972. ISBN 978-0471925675. 
• Norbert Straumann. General Relativity, With Applications to Astrophysics. Springer. 2004. ISBN 978-3540219248. 
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引力波

• Joseph Weber. General Relativity and Gravitational Waves. Dover Publications; Dover Ed edition. 2004. ISBN 978-0486438870. 
• Peter R. Saulson. Fundamentals of Interferometric Gravitational Wave Detectors. World Scientific Pub Co Inc. 1994. ISBN 978-9810218201. 
• Michele Maggiore. Gravitational Waves: Volume 1: Theory and Experiments Volume 1: Theory and Experiments. Oxford University Press, USA. 2007. ISBN 978-0198570745. 
• David G. Blair. Ripples on a Cosmic Sea: The Search for Gravitational Waves. Addison-Wesley Publishing Company. 1998. ISBN 978-0201360820. 
• David G. Blair. The Detection of Gravitational Waves. Cambridge University Press; New Ed edition. 2005. ISBN 978-0521021029. 

外部链接

• AstroGravS: Astrophysical Gravitational-Wave Sources Archive
• Lecture Notes on General Relativity
• 線上愛因斯坦 > 引力波 > 引力波天文學 （英文）
• 激光干涉引力波天文台主页 （英文）
• 激光干涉空间天线主页 （英文）
• 喷气推进实验室主页 （英文）
• GSFC主页 （英文）
• 引力波探测基本原理简介--电子书 (多种语言)
• 引力波探测游戏--时空探索 （英文）