弗罗贝尼乌斯自同态

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数学中,特别交换代数理论中,弗罗贝尼乌斯自同态Frobenius,简称弗罗贝尼乌斯)是特征素数p交换环中的一个特殊的自同态。这个自同态以德国数学家费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯命名。弗罗贝尼乌斯自同态将环中的每个元素射到它的p乘幂

x \mapsto x^p

在一般情况下,弗罗贝尼乌斯并不总是自同构

定义[编辑]

R 是一个交换环,特征是素数p。定义环上的弗罗贝尼乌斯自同态F 为:

F : \, x \mapsto x^p

这是一个自同态,因为首先对于乘法,它必然服从

F(xy) = (xy)^p = x^p y^p= F(x) F(y)

并且F(1) 也显然是1。然而同时,对于加法,也有:

F(x + y) = F(x) + F(y)

这是因为F(x + y) = (x + y)^p,而其中除了x^p y^p 两项之外,其余的每一项都是p的倍数。事实上,其余的每一项都是\binom{p}{k}x^k y^{p-k},也就是\frac {p!}{k! (p-k)!} x^k y^{p-k} 的形式,其中k 是一个介于1和p-1 之间的整数。这样,分母k! (p-k)! 无法被p 整除,而分子可以被p 整除。于是,整体来说是p倍数。因此,由于环的特征是p,这一项实际是0。从而:

F(x + y) = (x + y)^p = x^p + y^p + \sum_{k=1}^{p-1} \binom{p}{k}x^k y^{p-k}
= x^p + y^p = F(x) + F(y)

综上,弗罗贝尼乌斯自同态是满足自同态的定义的。

一般来说,弗罗贝尼乌斯自同态F 不是自同构,也就是说它不是一个一一映射。举例来说,令K为域Fp(t),也就是在p有限域Fp 中加入一个新的超越元素t 扩展得到的扩域。显然,由于t 是超越元,它不可能在F集里面,否则t 就会是一个Fp-多项式,而不是超越元素。也就是说,F 不是自同构。

弗罗贝尼乌斯的不动点[编辑]

R 为一个特征是p整环。这里弗罗贝尼乌斯F 的不动点是所有使得方程 xp = x 成立的元素,也就是多项式xp - x。根据费马小定理,这个多项式的全部根是0, 1, 2, ..., p - 1。因此,弗罗贝尼乌斯的不动点是R 中的素域

有限域的弗罗贝尼乌斯[编辑]

Fq 为一个阶数等于q 的有限域,其中的q = pdp 是域的特征。弗罗贝尼乌斯将域中的 Fp 部分之中的元素映射到自身。可以证明,F 生成了域扩张F_p \subset F_q伽罗瓦群

参考资料[编辑]

  • Lawrence C. Washington. Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography, Second Edition (Discrete Mathematics and Its Applications). Chapman and Hall/CRC. 2008. ISBN 978-1-420-07146-7.