弗莱纳公式

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空间曲线的切向量 T,法向量 N 和副法向量 B;以及切向量和法向量张成的密切平面

向量微积分中,弗莱纳公式(Frenet–Serret 公式)用来描述欧几里得空间R3中的粒子在连续可微曲线上的运动。更具体的说,弗莱纳公式描述了曲线的切向,法向,副法方向之间的关系。

单位切向量 T,单位法向量 N,单位副法向量 B,被称作 弗莱纳标架,他们的具体定义如下:

  • T 是单位切向量,方向指向粒子运动的方向。
  • N 是切向量 T弧长参数的微分单位化得到的向量。
  • BTN外积

弗莱纳公式如下:



\begin{matrix}
\frac{d\mathbf{T}}{ds} &=& & \kappa \mathbf{N} & \\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{N}}{ds} &=& - \kappa \mathbf{T} & &+\, \tau \mathbf{B}\\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{B}}{ds} &=& & -\tau \mathbf{N} &
\end{matrix}

其中d/ds 是对弧长的微分, κ 为曲线的曲率,τ 为曲线的挠率。弗莱纳公式描述了空间曲线曲率挠率的变化规律。

弗莱纳公式[编辑]

平面曲线上的亮点的切向量和法向量,以及标架在运动过程中的旋转。

r(t) 为欧式空间R3中的曲线,表示粒子在时间 t 时刻的位置向量。 弗莱纳公式只适用于正则曲线,即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不为零的曲线。

s(t)t时刻粒子所在位置到曲线上某定点的弧长

s(t)=\int_0^t \|\mathbf{r}'(\tau)\|d\tau.

由于假设r′ ≠ 0,因此可以将 t 表示为 s 的函数,因此可将曲线表示为弧长 s 的函数 r(s) = r(t(s))。 s 通常也被称为曲线的弧长参数。

对于由弧长参数定义的正则曲线 r(s),弗莱纳标架 (或弗莱纳基底)定义如下:

  • 单位切向量 T
 \mathbf{T} = {d\mathbf{r} \over ds}. \qquad \qquad (1)
  • 主法向量 N
 \mathbf{N} = {\frac{d\mathbf{T}}{ds} \over \left\| \frac{d\mathbf{T}}{ds} \right\|}. \qquad \qquad (2)
  • 副法向量 B 定义为 TN外积
 \mathbf{B} = \mathbf{T} \times \mathbf{N}. \qquad \qquad (3)
螺旋线上弗莱纳标架的运动。蓝色的箭头表示切向量,红色的箭头表示法向量,黑丝的箭头表示副法向量。

由于 |\mathbf{T}|=1,    \frac{d(\mathbf{T}\cdot \mathbf{T})}{ds} =2\mathbf{T}\cdot\mathbf{N} =0, 所以 NT 垂直。 方程 (3) 说明 B 垂直于 TN,因此向量 TNB 互相垂直。

弗莱纳公式如下:



\begin{matrix}
\frac{d\mathbf{T}}{ds} &=& & \kappa \mathbf{N} & \\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{N}}{ds} &=& - \kappa \mathbf{T} & &+\, \tau \mathbf{B}\\
&&&&\\
\frac{d\mathbf{B}}{ds} &=& & -\tau \mathbf{N} &
\end{matrix}

其中 κ 为曲线的曲率,τ 为曲线的挠率

弗莱纳公式有时也被称作弗莱纳定理,并且可以写做矩阵的形式:[1]

 \begin{bmatrix} \mathbf{T'} \\ \mathbf{N'} \\ \mathbf{B'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{T} \\ \mathbf{N} \\ \mathbf{B} \end{bmatrix}.

其中的矩阵是反对称矩阵

对弧长s求导,可以看成是对切方向的协变导数。

参阅[编辑]

注释[编辑]

  1. ^ Kühnel 2002,§1.9

参考资料[编辑]

  • Crenshaw, H.C.; Edelstein-Keshet, L., Orientation by Helical Motion II. Changing the direction of the axis of motion, Bulletin of Mathematical Biology, 1993, 55 (1): 213–230 
  • Etgen, Garret; Hille, Einar; Salas, Saturnino, Salas and Hille's Calculus — One and Several Variables 7th, John Wiley & Sons, 896, 1995 
  • Frenet, F., Sur les courbes à double courbure, Thèse, Toulouse, 1847 . Abstract in J. de Math. '17', 1852.
  • Goriely, A.; Robertson-Tessi, M.; Tabor, M.; Vandiver, R., Elastic growth models, BIOMAT-2006, Springer-Verlag, 2006 .
  • Griffiths, Phillip, On Cartan's method of Lie groups and moving frames as applied to uniqueness and existence questions in differential geometry, Duke Mathematics Journal, 1974, 41 (4): 775–814, doi:10.1215/S0012-7094-74-04180-5 .
  • Guggenheimer, Heinrich, Differential Geometry, Dover, 1977, ISBN 0-486-63433-7 
  • Hanson, A.J., Quaternion Frenet Frames: Making Optimal Tubes and Ribbons from Curves, Indiana University Technical Report, 2007 
  • Iyer, B.R.; Vishveshwara, C.V., Frenet-Serret description of gyroscopic precession, Phys. Rev., D, 1993, 48 (12): 5706–5720 
  • Jordan, Camille, Sur la théorie des courbes dans l'espace à n dimensions, C. R. Acad. Sci. Paris, 1874, 79: 795–797 
  • Kühnel, Wolfgang, Differential geometry, Student Mathematical Library, Providence, R.I.: American Mathematical Society, 2002, ISBN 978-0-8218-2656-0, MR1882174 
  • Serret, J. A., Sur quelques formules relatives à la théorie des courbes à double courbure, J. De Math., 1851, 16 .
  • Spivak, Michael, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two), Publish or Perish, Inc., 1999 .
  • Sternberg, Shlomo, Lectures on Differential Geometry, Prentice-Hall, 1964 
  • Struik, Dirk J., Lectures on Classical Differential Geometry, Reading, Mass: Addison-Wesley, 1961 .

外部链接[编辑]