张量 (内蕴定义)

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数学中,处理张量理论的现代无分量component-free)方法首先将张量视为抽象对象,表示多重线性概念的某些特定类型。他们一些熟知的性质可由作为线性映射或更广泛地定义得出;而张量的操作导致了线性代数扩张为多重线性代数

微分几何中,一个内蕴的几何论断也许可以用一个流形上的张量场表示,这样完全不必使用参考坐标系。在广义相对论中同样如此,张量场描述了物理性质。无分量方法在抽象代数同调代数中也很常用,在那里张量自然地出现了。

用向量空间的张量积定义[编辑]

给定 F 上一个有限向量空间集合 { V1, ... , Vn },我们可以考虑他们的张量积 V_1 \otimes \cdots \otimes V_n。这个张量积中的一个元素称为一个张量(但这不是本文讨论的张量概念)。

向量空间 V 上的张量定义成具有形式

V \otimes\cdots\otimes V \otimes V^* \otimes \cdots \otimes V^*

的向量空间中的一个元素(即向量),这里 V* 是 V 的对偶空间。

如果在我们的积中有 mVnV*,张量称为 (m, n) 型,具有反变阶数 m 与共变阶数 n,总阶数m+n。零阶张量就是数量(域 F 中的元素),1 阶反边张量是 V 中的向量,1 阶共变张量是 V* 中的1-形式(因此,后两个空间经常称为反变向量与共变向量)。

(1,1) 型张量

V \otimes V^*

自然同构于从 VV线性变换空间。一个实向量空间 V内积自然对应于 (0,2) 张量

V^* \otimes V^*

称为相应的度量,一般记作 g

其它记法[编辑]

文献中通常不写出完整的张量积以表示 (m,n) 型张量的空间,而使用缩写:

 \begin{matrix} T^m_n(V) & = & \underbrace{ V\otimes \dots \otimes V} & \otimes  & \underbrace{ V^*\otimes \dots \otimes V^*} \\ & & m & & n \end{matrix} .

这个空间的另外一种记法是用从向量空间 V 到向量空间 W 的线性映射来表示。设

L(V,W)\

表示所有从 V 到 W 的线性映射的空间。因此,例如对偶空间(线性泛函的空间)可以写成

V^* \cong L(V,\mathbb{R});

(m,n)-张量的集合可以写成

T^m_n(V) \cong 
L(V^*\otimes \dots \otimes V^*\otimes V \otimes \dots \otimes V, \mathbb{R})
\cong L^{m+n}(V^*,\dots,V^*,V,\dots,V,\mathbb{R}).

在上面的公式中,VV* 的角色互换了。特别地,我们有

T^1_0(V) \cong L(V^*,\mathbb{R}) \cong V ,

T^0_1(V) \cong L(V,\mathbb{R}) \cong V^* ,

以及

T^1_1(V) \cong L(V,V).

以下记法

GL(V,W)\

通常用来表示从 VW 的可逆线性变换的空间,但对于张量空间没有类似的记法。

张量场[编辑]

微分几何物理学工程学必须经常要处理光滑流形上的张量场。术语“张量'”实际上有时用作张量场的简称。一个张量场表达了逐点变化的张量的概念。

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对任何给定坐标系我们有切空间 V 的一组基 {ei}(如果流形不是线性的,基会逐点变化),以及相应的余切空间 V* 的对偶基 {ei}。上指标与下指标的区别提醒我们分量变换的方式。

例如,取空间

V \otimes  V \otimes  V^*

中的张量 A,在我们的坐标系下分量可写成

\mathbf{A} = A^{ij} {}_k (\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \otimes \mathbf{e}^k) ,

这里我们使用爱因斯坦记号,这是处理坐标等式的一种习惯:当一个指标同时出现在一个等式的上指标与下指标时,我们对所有可能值求和。在物理中我们经常使用表达式

A^{ij} {}_k\

表示张量,就像向量经常写成分量形式,这可以视为一个 n × n × n 数组。在另一坐标系中,有另一组基 {ei'},将有不同分量。如果 (xi'i) 是变换矩阵(注意这不是一个张量,因为它表达一个基的变化而不是一个几何实体),设 (yii') 是其,则分量变化公式为

A^{i'j'}\! {}_{k'} = x^{i'}\! {}_i \, x^{j'}\! {}_j \, y^k\! {}_{k'} \, A^{ij} {}_k .

在旧教材中这个变换规律经常作为一个张量的定义。形式上,这意味这那个张量作为所有坐标变换组成的的一个特定表示

参考文献[编辑]