张量 (内蕴定义)

在数学中，处理张量理论的现代无分量（component-free）方法首先将张量视为抽象对象，表示多重线性概念的某些特定类型。他们一些熟知的性质可由作为线性映射或更广泛地定义得出；而张量的操作导致了线性代数扩张为多重线性代数。

在微分几何中，一个内蕴的几何论断也许可以用一个流形上的张量场表示，这样完全不必使用参考坐标系。在广义相对论中同样如此，张量场描述了物理性质。无分量方法在抽象代数与同调代数中也很常用，在那里张量自然地出现了。

用向量空间的张量积定义

给定域 F 上一个有限向量空间集合 { V₁, ... , V_n }，我们可以考虑他们的张量积 $V_1 \otimes \cdots \otimes V_n$。这个张量积中的一个元素称为一个张量（但这不是本文讨论的张量概念）。

向量空间 V 上的张量定义成具有形式

$V \otimes\cdots\otimes V \otimes V^* \otimes \cdots \otimes V^*$

的向量空间中的一个元素（即向量），这里 V* 是 V 的对偶空间。

如果在我们的积中有 m 个 V 与 n 个 V*，张量称为 (m, n) 型，具有反变阶数 m 与共变阶数 n，总阶数为 m+n。零阶张量就是数量（域 F 中的元素），1 阶反边张量是 V 中的向量，1 阶共变张量是 V* 中的1-形式（因此，后两个空间经常称为反变向量与共变向量）。

(1,1) 型张量

$V \otimes V^*$

自然同构于从 V 到 V 的线性变换空间。一个实向量空间 V 的内积自然对应于 (0,2) 张量

$V^* \otimes V^*$

称为相应的度量，一般记作 g。

其它记法

文献中通常不写出完整的张量积以表示 (m,n) 型张量的空间，而使用缩写：

$\begin{matrix} T^m_n(V) & = & \underbrace{ V\otimes \dots \otimes V} & \otimes & \underbrace{ V^*\otimes \dots \otimes V^*} \\ & & m & & n \end{matrix} .$

这个空间的另外一种记法是用从向量空间 V 到向量空间 W 的线性映射来表示。设

$L(V,W)\$

表示所有从 V 到 W 的线性映射的空间。因此，例如对偶空间（线性泛函的空间）可以写成

$V^* \cong L(V,\mathbb{R});$

(m,n)-张量的集合可以写成

$T^m_n(V) \cong L(V^*\otimes \dots \otimes V^*\otimes V \otimes \dots \otimes V, \mathbb{R}) \cong L^{m+n}(V^*,\dots,V^*,V,\dots,V,\mathbb{R}).$

在上面的公式中，V 和 V* 的角色互换了。特别地，我们有

$T^1_0(V) \cong L(V^*,\mathbb{R}) \cong V ,$

与

$T^0_1(V) \cong L(V,\mathbb{R}) \cong V^* ,$

以及

$T^1_1(V) \cong L(V,V).$

以下记法

$GL(V,W)\$

通常用来表示从 V 到 W 的可逆线性变换的空间，但对于张量空间没有类似的记法。

张量场

微分几何、物理学和工程学必须经常要处理光滑流形上的张量场。术语“张量'”实际上有时用作张量场的简称。一个张量场表达了逐点变化的张量的概念。

基

对任何给定坐标系我们有切空间 V 的一组基 {e_i}（如果流形不是线性的，基会逐点变化），以及相应的余切空间 V* 的对偶基 {eⁱ}。上指标与下指标的区别提醒我们分量变换的方式。

例如，取空间

$V \otimes V \otimes V^*$

中的张量 A，在我们的坐标系下分量可写成

$\mathbf{A} = A^{ij} {}_k (\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \otimes \mathbf{e}^k) ,$

这里我们使用爱因斯坦记号，这是处理坐标等式的一种习惯：当一个指标同时出现在一个等式的上指标与下指标时，我们对所有可能值求和。在物理中我们经常使用表达式

$A^{ij} {}_k\$

表示张量，就像向量经常写成分量形式，这可以视为一个 n × n × n 数组。在另一坐标系中，有另一组基 {e_i'}，将有不同分量。如果 (x^i'_i) 是变换矩阵（注意这不是一个张量，因为它表达一个基的变化而不是一个几何实体），设 (yⁱ_i') 是其逆，则分量变化公式为

$A^{i'j'}\! {}_{k'} = x^{i'}\! {}_i \, x^{j'}\! {}_j \, y^k\! {}_{k'} \, A^{ij} {}_k .$

在旧教材中这个变换规律经常作为一个张量的定义。形式上，这意味这那个张量作为所有坐标变换组成的群的一个特定表示。

参考文献

• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E., Foundations of Mechanics. 2, Reading, Mass.: Addison-Wesley. 1985, ISBN 0-201-40840-6