弱哥德巴赫猜想

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弱哥德巴赫猜想,又称为奇数哥德巴赫猜想三素数问题,其表述为:

任一大于7的奇数都可以表示为三个奇素数之和。

如果强哥德巴赫猜想成立,便可以推出此猜想,故这一猜想被称为“弱”哥德巴赫猜想。(强哥德巴赫猜想成立意味着大于4的偶数都可表示为两个奇素数之和,再加上3就可以使大于7的奇数表示为三个奇素数之和)

1923年,英国数学家哈代李特尔伍德证明,假设广义黎曼猜想成立,弱哥德巴赫猜想对充分大的奇数是正确的。1937年,苏联数学家伊万·维诺格拉多夫(Ivan Vinogradov)更进一步,在无需广义黎曼猜想的情形下,直接证明了充分大的奇数可以表示为三个素数之和,被称为维诺格拉多夫定理。不过由于维诺格拉多夫的证明使用了西格尔-瓦尔菲施定理(Siegel–Walfisz theorem),因而无法给出“充分大”的界限。他的学生博罗兹金(K. Borozdin)于1939年确定了一个“充分大”的下限:3^{14348907}。然而这一数字有6,846,169位,要验证比该数小的所有数是完全不可行的。

2002年,香港大学的廖明哲与王天泽把“充分大”的下限降至n>e^{3100}\approx 2 \times 10^{1346}。不过这仍然超出了计算机验证的范围(计算机仅对10^{18}以下的数验证过强哥德巴赫猜想,弱哥德巴赫猜想的验证范围比此略多)。不过这一下限已经足够小,使得比其小的单个奇数都可以用现有的素性测试来验证,如椭圆曲线素性测试已被用来验证多达26,643位数的素性。[1]

1997年,戴舍尔(Deshouillers)、埃芬格(Effinger)、特里尔(te Riele)与季诺维也夫(Zinoviev)证明,在广义黎曼猜想成立的前提下弱哥德巴赫猜想是完全成立的。[2]这一结果由两部分构成,其一是证明了大于10^{20}时弱哥德巴赫猜想成立,而小于此数的情况则由计算机验证得到。

法国数学家奥利维耶·拉马雷(Olivier Ramaré)于1995年证明,不小于4的偶数都可以表示为最多六个素数之和。而莱塞克·卡涅茨基(Leszek Kaniecki)则证明了在黎曼猜想成立的前提下,奇数都可表示为最多五个素数之和。[3]2012年,陶哲轩在无需黎曼猜想的情形下证明了这一结论。[4]

2013年5月13日,法国国家科学研究院巴黎高等师范学院的数论领域的研究员哈洛德·賀歐夫各特,在线发表两篇论文宣布彻底证明了弱哥德巴赫猜想[5][6]。Helfgott生于1977年,秘鲁籍,于2003年在Henryk Iwaniec教授的指导下获得普林斯顿大学博士学位。2003-2004和2004-2006年分别在耶鲁大学蒙特利尔大学博士后。2010年开始担任法国国家科学研究院和巴黎高等师范学院的研究员。Helfgott在文章“Minor arcs for Goldbach's problem”中[5],给出了指数和形式的一个新界。在文章“Major arcs for Goldbach's theorem”中[6],Helfgott综合使用了哈迪-利特伍德-维诺格拉多夫圆法(主要工具是傅里叶分析,创建了一个周期函数,其范围包括所有素数),筛法指数和等传统方法,把下界降低到了1030左右,Helfgott的同事David Platt用计算机验证在此之下的所有奇数都符合猜想,从而完成了弱哥德巴赫猜想的全部证明。[7]

参考文献[编辑]

  1. ^ N. Lygeros, F. Morain, O. Rozier. Quelques nombres premiers prouvés par mes programmes. 
  2. ^ Deshouillers, Effinger, Te Riele and Zinoviev. A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis (PDF). Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society. 1997, 3 (15): 99–104. doi:10.1090/S1079-6762-97-00031-0. 
  3. ^ Kaniecki, Leszek. On Šnirelman's constant under the Riemann hypothesis. Acta Arithmetica. 1995: (361–374). 
  4. ^ Terence Tao. Every odd number greater than 1 is the sum of at most five primes. 
  5. ^ 5.0 5.1 Minor arcs for Goldbach's problem
  6. ^ 6.0 6.1 Major arcs for Goldbach's theorem
  7. ^ 两项证明激荡数论研究”作者:张冬冬《中国科学报》 2013-05-27 第3版