形变收缩

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拓扑学中,收缩retraction),顾名思义是将整个空间收缩到一个子空间形变收缩deformation retraction)是将空间“连续收缩”成一个子空间的映射


定义[编辑]

收缩[编辑]

X 是一个拓扑空间AX 的一个子空间。那么连续映射

r:X \to A

是一个收缩如果 rA 上的限制A 上的恒等映射;这就是说,r(a) = a 对所有 a 属于 A。等价地,记

\iota : A \hookrightarrow X

为包含,一个收缩是一个连续映射 r 使得

r \circ \iota = id_A,

r 与 包含的复合是 A 的恒等。注意,由定义,一个收缩映射 X 映满 A。如果存在收缩映射,则子空间 A 称为 X 的一个收缩核retract)。例如,任何空间以显然的方式收缩到一点(取常数映射为收缩)。

如果 X 嵌入任何正规空间 Y,作为 Y 的闭子集,XY 的收缩核,则空间 X 称为绝对收缩核(或 AR)。

邻域收缩[编辑]

如果存在一個開集 U 使得

A \subset U \subset X

AU 的一個收縮核,則 A 稱為 X 的一個鄰域收縮核

如果空間 X 閉嵌入任何正規空間 Y中,XY 的一個鄰域收縮核,稱為 X 為一個絕對鄰域收縮核(或 ANR)。

形变收缩与强形变收缩[编辑]

称连续映射

d:X \times [0, 1] \to X

是一个形变收缩,如果对任何x 属于 Xa 属于 A

 d(x,0) = x, \; d(x,1) \in A ,以及  d(a,1) = a.

换句话说,形变收缩是收缩与 X 上恒等映射的同伦。子空间 A 称为 X形变收缩核。形变收缩核是一类特殊的同伦等价

收缩不一定是形变收缩。例如,以一个单点作为形变收缩核意味着是道路连通的(事实上这个空间是可缩的)。

:形变收缩的另一个等价的定义如下。连续映射 r: XA 是一个形变收缩如果它是一个收缩且它与包含映射的复合同伦于 X 上的恒等映射。在这种表述下,一个形变收缩得出它与 X 上的恒等映射之间的一个同伦。

如果在形变收缩的定义中,我们添加条件:

d(a,t) = a\,

对多有 t 属于 [0, 1],d 称为一个强形变收缩strong deformation retraction)。换句话说,强形变收缩在同伦中保持 A 中的点不动(也有一些作者将其作为形变收缩的定义)。

邻域形变收缩[编辑]

U 中的空间偶 (X, A) 称为 NDR-偶如果存在映射 u:X \rightarrow I 使得 A = u^{-1} (0) 与同伦 h:I \times X \rightarrow X,使得 h(0, x) = x 对所有 x \in Xh(t, a) = a 对所有 (t, a) \in I \times A,以及 h(1, x) \in A 对所有 x \in u^{-1} [ 0 , 1)。二元组 (h, u) 称为 (X, A) 作为 NDR-偶的一个表示。

性质[编辑]

形變收縮是一種特殊的同倫等價。事實上,兩個空間是同倫等價當且僅當他們都是另一個大空間的形變收縮核。

任何能形變收縮成一點的拓撲空間稱為可縮的,反之亦然。但是存在可缩空间不能强形变收缩成一点。

引用[编辑]