形式系統

在邏輯與數學中，一個形式系統是由兩個部分組成的，一個形式语言加上一個推理規則或轉換規則的集合。一個形式系統也許為了其目的，是純粹抽象的方程式，但也可能是為了描述真實現象或實際物件的領域而設計的。

理論

在數學領域裡，形式證明是形式系統的產物，由一些公設與演繹規則組成。理論便是形式證明可能的最後一行結論。這幾個步驟總和起來便是數學界通稱的形式主義，但它更應該稱做有限主義。大衛·希爾伯特創立元數學並成為討論形式系統的法則。任何用於討論形式系統的語言稱為元語言。元語言也許像普通語言一樣自然，或它可能部分形式化，但它通常比起受檢驗系統的形式語言來得較不正規化。此形式語言稱為對象語言，意指問題議論的對象。

某些理論學家將形式主義粗略視為形式系統的同義字，但此詞也同時指稱特殊風格的符號，例如保羅·狄拉克的狄拉克符號。

在數學中的形式系統由以下要素組成：

1. 一群有限數量，且可用於建構公式的符號集合。
2. 一套文法，例如以上述符號建構且形式良好的公式，這樣系統才能發現一個判定此公式是否為形式良好（通稱合式公式，或Well-formed formula，wff）的演算法。
3. 一群公設或公設的概述，每個公設都必須是合式公式。
4. 一群推理規則。
5. 一群理論，此集合包含所有公設，加上所有可從之前完成推導的理論，經由推論規則衍生而來且形式良好的理論。文法定義的合式公式，在這裡不一定可找到合適的演算法判定其是否為一個合法的理論。（以自然語言為例，合乎文法的句子不一定含有可理解的文義，例如「我的弟弟長得欣欣向榮。」或「天黑了，爸爸陸陸續續回家了。」）

延伸閱讀

• Raymond M. Smullyan, 1961. Theory of Formal Systems: Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press (April 1, 1961) 156 pages ISBN 069108047X
• S. C. Kleene, 1967. Mathematical Logic Reprinted by Dover, 2002. ISBN 0486425339
• Geoffrey Hunter, 1996. Metalogic: An Introduction to the Metatheory of Standard First-Order Logic University of California Press 1996. ISBN 0520023560
• Douglas Hofstadter, 1979,. Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid ISBN 978-0465026562. 777 pages.

外部連結

维基词典上的词义解释：

formalisation

• Encyclopædia Britannica, Formal system definition, 2007.
• Christer Blomqvist, an introduction to formal systems, webpage 1997.
• What is a Formal System?: Some quotes from John Haugeland's `Artificial Intelligence: The Very Idea' (1985), pp. 48–64.
• Heinrich Herre Formal Language and systems, 1997.
• Peter Suber, Formal Systems and Machines: An Isomorphism, 1997.