循序可测过程

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数学中,循序可测随机过程的一种性质。循序可测性质是随机过程研究中用到的一种重要性质,能够保证停过程可测性。循序可测性比随机过程的适应性更加严格[1]:4-5。循序可测过程在伊藤积分理论中有重要应用。

定义[编辑]

设有

则随机过程\left( X_t \right)_{t\in T}是循序可测过程当且仅当对任意的时刻t\in T映射

X\left|_{[0,t]} : \, \, [0, t] \times \Omega \, \, \longrightarrow  \, \, \mathbb{X} \right.
(s, \omega)  \quad \mapsto  \, \, X_{s}(\omega)

都是 \mathrm{Borel}([0, t]) \otimes \mathcal{F}_{t}-可测的[2]:110\left( X_t \right)_{t\in T}是循序可测过程可以推出它必然是适应过程[1]:5

子集P \subseteq [0, \infty) \times \Omega是循序可测集合当且仅当指示过程

X_{s} (\omega) := \mathbf{1}_{P} (s, \omega)

是循序可测过程。所有循序可测的子集P构成[0, \infty) \times \Omega上的一个σ-代数,一般记为\mathrm{Prog}。一个随机过程\left( X_t \right)_{t\in T}是循序可测过程当且仅当它(在被看作[0, \infty) \times \Omega上的随机变量时)是\mathrm{Prog}-可测的[3]:190

性质[编辑]

  • 如果一个适应随机过程是左连续或右连续的,那么它是循序可测过程。特别地,左极限右连续的适应随机过程是循序可测过程[3]:191
  • W = \left(W_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)是一维的标准布朗运动过程,H = \left(H_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)为关于W的参考族\{ \mathcal{F}_{t}^W\}的(实值的)循序可测过程,并且满足 \mathbb{E}[\int_T H(t)^2 \mathrm{d}t] < \infty ,那么我们可以定义H关于W的随机积分: \int_T H(t) \mathrm{d}W_t  [2]:146-147,而且满足
      \mathbb{E}\left[\left(\int_T H(t) \mathrm{d}W_t\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[\int_T H(t)^2 \mathrm{d}t\right]. [3]:192[2]:141
  • 一个随机过程X = \left(X_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)修正modification)是指另一个随机过程Y = \left(Y_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right),满足\forall t \in T, \, \, \mathbb{P}(X_t = Y_t) = 1. 可以证明,尽管不是每个可测的适应随机过程都是循序可测的,但必然拥有一个循序可测的修正[2]:110

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 (英文)Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven. Brownian Motion and Stochastic Calculus 2nd. Springer. 1991. ISBN 0-387-97655-8. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 (英文)Pascucci, Andrea. PDE and Martingale Methods in Option Pricing. Berlin: Springer. 2011. ISBN 978-8847017801. 
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 (英文)Peter Mörters, Yuval Peres. Brownian Motion. Cambridge University Press Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. 2010. ISBN 9780521760188.