循序可测过程

在数学中，循序可测是随机过程的一种性质。循序可测性质是随机过程研究中用到的一种重要性质，能够保证停过程的可测性。循序可测性比随机过程的适应性更加严格。循序可测过程在伊藤积分理论中有重要应用。

定义

设有

• 概率空间$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$；
• 测度空间$(\mathbb{X}, \mathcal{A})$，状态空间；
• σ-代数$\mathcal{F}$上的参考族$\{ \mathcal{F}_{t} | t \geqslant 0 \}$；
• 随机过程$X : T=[0, \infty) \times \Omega \to \mathbb{X} = \left( X_t \right)_{t\in T}$（指标集$T$也可以是有限时间$[0, T_0]$或离散时间$\mathbb{N}$）。

则随机过程$\left( X_t \right)_{t\in T}$是循序可测过程当且仅当对任意的时刻$t\in T$，映射

$X\left|_{[0,t]} : \, \, [0, t] \times \Omega \, \, \longrightarrow \, \, \mathbb{X} \right.$

$(s, \omega) \quad \mapsto \, \, X_{s}(\omega)$

都是 $\mathrm{Borel}([0, t]) \otimes \mathcal{F}_{t}$-可测的。$\left( X_t \right)_{t\in T}$是循序可测过程可以推出它必然是适应过程。

子集$P \subseteq [0, \infty) \times \Omega$是循序可测集合当且仅当指示过程：

$X_{s} (\omega) := \mathbf{1}_{P} (s, \omega)$

是循序可测过程。所有循序可测的子集$P$构成$[0, \infty) \times \Omega$上的一个σ-代数，一般记为$\mathrm{Prog}$。一个随机过程$\left( X_t \right)_{t\in T}$是循序可测过程当且仅当它（在被看作$[0, \infty) \times \Omega$上的随机变量时）是$\mathrm{Prog}$-可测的。

性质

• 如果一个适应随机过程是左连续或右连续的，那么它是循序可测过程。特别地，左极限右连续的适应随机过程是循序可测过程。
• 设$W = \left(W_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)$是一维的标准布朗运动过程，$H = \left(H_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)$为关于$W$的参考族$\{ \mathcal{F}_{t}^W\}$的（实值的）循序可测过程，并且满足$\mathbb{E}[\int_T H(t)^2 \mathrm{d}t] < \infty$，那么我们可以定义$H$关于$W$的随机积分：$\int_T H(t) \mathrm{d}W_t$，而且满足

  $\mathbb{E}\left[\left(\int_T H(t) \mathrm{d}W_t\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[\int_T H(t)^2 \mathrm{d}t\right].$。

• 一个随机过程$X = \left(X_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)$的修正（modification）是指另一个随机过程$Y = \left(Y_{t} (\omega) \, ; \, \, t \in T , \, \omega \in \Omega \right)$，满足$\forall t \in T, \, \, \mathbb{P}(X_t = Y_t) = 1.$ 可以证明，尽管不是每个可测的适应随机过程都是循序可测的，但必然拥有一个循序可测的修正。

参见

• 适应过程

• 可预测过程