循环小数

各种各样的數

基本

$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}$ 自然數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{N} \end{smallmatrix}$ 整數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z} \end{smallmatrix}$ 二进分数 有限小数 循环小数 有理數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Q} \end{smallmatrix}$ 高斯整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[i] \end{smallmatrix}$ 代數數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{A} \end{smallmatrix}$ 實數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{R} \end{smallmatrix}$ 複數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{C} \end{smallmatrix}$ 負數 分数 单位分数 无限小数 规矩数 無理數 超越數 二次无理数 虛數 艾森斯坦整数 $\begin{smallmatrix} \mathbb{Z}[\omega] \end{smallmatrix}$

延伸

雙複數 四元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{H} \end{smallmatrix}$ 共四元數 八元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{O} \end{smallmatrix}$ 超數 上超實數 超現實數 超複數 十六元數 $\begin{smallmatrix} \mathbb{S} \end{smallmatrix}$ 複四元數 大實數 超實數 $\begin{smallmatrix} {}^\star\mathbb{R} \end{smallmatrix}$

其他

对偶数 雙曲複數 序數 質數 同餘 可計算數 阿列夫数 公稱值 超限數 基數 P進數 規矩數 整數序列 數學常數 圓周率 $\begin{smallmatrix} \pi \end{smallmatrix}$ = 3.141592653… 自然對數的底 $\begin{smallmatrix} e \end{smallmatrix}$ = 2.718281828… 虛數單位 $\begin{smallmatrix} i \end{smallmatrix}$ = $\begin{smallmatrix} +\sqrt{-1} \end{smallmatrix}$ 無窮大 $\begin{smallmatrix} \infty \end{smallmatrix}$

循环小数是從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字，依次不斷地重複出現的小數。

定義

循環小數即為有理數的小數表示形式，例：

${5 \over 4}=1.25=1.25000000\cdots=1.25\overline{0}$

${1 \over 3}=0.3333333\cdots=0.\overline{3}$

${1 \over 7}=0.{\color{red}142857}{\color{blue}142857}\cdots=0.\overline{142857}$

特性

• 一个分母为N的循环小数的循环节位数最多不超过N-1位。

化為分數的方法

1. 先看有幾位「非循環節位數（${\color{blue}n\,\!}$）」和「循環節位數（${\color{red}m\,\!}$）」，算出後，將${\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}$擺於「分母」。
2. 「分子」則是將「非循環節部分」和「循環節部分」併為一個數字，將其減去「非循環節部分」，即$a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n$，詳細公式如下。
3. 公式：$0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_{\color{blue}n\,\!} \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_{\color{red}m\,\!} }={{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ {\color{red}m\,\!} \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ {\color{blue}n\,\!} \end{matrix}}}}$
4. 原理：
   1. 令$x=0. a_1 a_2 a_3 \cdots a_n \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$。
   2. 則$10^n x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$──①式。
   3. $10^{n+m} x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m . \overline{b_1 b_2 b_3 \cdots b_m }$──②式。
   4. ②－①⇒$\left( 10^{n+m}-10^n \right)x=a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n$。
   5. $\begin{align} x & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^{n+m}-10^n}} \\ & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {10^n\left( 10^m-1 \right)}} \\ & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {\begin{matrix} \underbrace{ 1000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}} \times {\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}} \\ & = {{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n b_1 b_2 b_3 \cdots b_m - a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \over {{\begin{matrix} \underbrace{ 999 \cdots 9 } \\ m \end{matrix}}{\begin{matrix} \underbrace{ 000 \cdots 0 } \\ n \end{matrix}}}} \\ \end{align}$。
5. 範例：$0.1 \overline{23} = \frac{123-1}{990} = \frac{61}{495}$。
   • 【原理】
     1. 令$x = 0.1 \overline{23}$
     2. 則$10x = 1 . \overline{23}$、$1000x = 123 . \overline{23}$
     3. 兩式相減得$\left( 1000-10 \right)x = 123-1$，$990x = 122\,\!$
     4. ∴$x = \frac{61}{495}$。

计算方法

利用长除法可以将分数(有理数，$\mathbb{Q}$)转化为循环小数。

例如${3 \over 7}$可以用长除法计算如下：

      .4 2 8 5 7 1 4 ...
 7 ) 3.0 0 0 0 0 0 0 0
     2 8                         30/7 = 4 r 2
       2 0
       1 4                       20/7 = 2 r 6
         6 0
         5 6                     60/7 = 8 r 4
           4 0
           3 5                   40/7 = 5 r 5
             5 0
             4 9                 50/7 = 7 r 1
               1 0
                 7               10/7 = 1 r 3
                 3 0
                 2 8             30/7 = 4 r 2  (从这里开始重复)
                   2 0
                        等等

表示方法

在不同的国家地区对循环小数有不同的表示习惯。

• 使用「上划线」表示，如：

${1 \over 70}=0.0\overline{142857}$

• 使用「上点」表示，如：

${1 \over 70}=0.0\dot{1}4285\dot{7}$

• 使用「大括号」表示，如：

${1 \over 70}=0.0\{142857\}$

缺点

不唯一性

使用循环小数表示有理数的缺点在于表示方式的不唯一性，例如

$1.000000\cdots=1.\overline{0}=0.\overline{9}=0.999999\cdots$

与進位制系統密切相关

由于循环小数与進位制系統密切相关，使得一些简单的有理数在循环小数表示法中的表示形式相当复杂。 如

${1 \over 17}=0.{\color{red}0588235294117647}{\color{blue}0588235294117647}\cdots=0.\overline{0588235294117647}$

但在某些进位制当中反而因为循环节较短，使得看起来相当简单。 如

${1 \over 17}={1 \over 11}_{(16)}=0.{\color{red}0F}{\color{blue}0F}\cdots_{(16)}=0.\overline{0F}_{(16)}$

參見

• 证明0.999...等于1
• Midy定理

外部連結

• 循環節、非循環節與分母的關係