循環群

在群論裡，循環群是指能由單個元素生成的群。即存在一群內的元素g（此元素稱為此群的生成元），使得群內的每個元素均為g的若干次方，當群的运算以乘法表示时(為g的倍數，若群的运算以加法表示)。

定義

單位一的 6 次複數根在乘法下形成循環群。z 是本原元而 z² 不是，因為 z 的奇數冪不是 z² 的冪。

设(G，·)為一个群，若存在一G內的元素g，使得G = <g> = { gⁿ ∀n }，则称G关于运算“ · ”形成一个循环群。由群內的一个元素所生成的群均為循环群，而且是此群的子群。当群G內含有g的唯一子群為G本身時，可證明G是循環群。

例如，若G = { e, g¹, g², g³, g⁴, g⁵ }, 則G為循環的，且G同構於模 6 的加法群：{$\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}$}。

分类

對於每一個正整數 n ，都存在唯一一個（在同构的意义上）阶為此正整數 n 的循環群，或者说，所有的 n 阶循環群都和模 n 的同余类构成的加法群Z/nZ同构。如果一个循环群的阶是无限的，那么它同构于整數关于加法构成的群。因此，循環群已被完全分类，是最簡單的一种群。

标记

由于循环群必然是阿貝爾群，且与加法群Z/nZ或整数的加法群同构，它的运算常常會以加法寫出，且被標記為Z_n；但數論學家一般會避免使用這種標記，因為它和对应於一个素数的p進數環或局部化的標記相衝突，容易混淆，因此也有直接记作Z/nZ，或以乘法寫出，標記為C_n的。(如在C₅中的g³g⁴ = g²，在同构的意义上和Z/5Z中的 $3 + 4 \equiv 2 \mod 5$ 相同。）

所有的有限循環群皆為週期群。

性質

每一個循環群都同構模n的加法群：{$\overline{0}, \overline{1}, \overline{2},..., \overline{n-1}$}或整數的加法群Z。因此，要了解循環群的一般性質，只需要看這些群有什麼性質就可以了。所以，循環群是最容易去學習的群，且有許多的良好性質。设G是一个n(n可能是無限的，代表同构于整数)阶的循環群，g是G中一个元素，则：

• G為交換群。這是因為g + h mod n = h + g mod n。
• 若n為有限的，則$g^n = e$，因為 n mod n = 0。
• 若n為無限的，則恰好存在兩個生成元，對Z而言，被稱為1及−1，且其他同構于G的群均是無限循環群。
• 若n為有限的，則存在著恰好φ(n)個生成元，其中φ為歐拉函數。
• G的每一個子群都是循環群。且確實地，每一個G的 m 阶有限子群皆為模 m 的加法群{0,1,2,3,...,m−1}。而每一個G的無限子群都可以表示成mZ，同構於Z。
• C_n同構於Z/nZ(Z在nZ上的商群)，因為Z/nZ = {0 + nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, 3 + nZ, 4 + nZ, ..., n − 1 + nZ} $\cong$以n為模之加法的{ 0, 1, 2, 3, 4, ..., n − 1}。

• Z/nZ的生成元為和n互質的整數之同餘類；其生成元的數目被稱為φ(n)，其中φ為歐拉函數。

• 更一般的，若d為n的因數，則在Z/nZ中，阶为d的元素有φ(d)个。同餘類m的目為n / gcd(n,m)。

• 若p一質數，則阶為p的群都同构于循環群Z_p。

• Z_n和Z_m兩個循環群的直積是循環群若且唯若n和m互質。故Z₁₂（一个循环群）會是Z₃和Z₄的直積，而不會是Z₆和Z₂的直積。

• 由定義直接可知，循環群有一其型式為< x | xⁿ >之非常簡單的展現。

• 阿貝爾群的基本定理说明每一個有限生成阿貝爾群都是有限多個循環群的直積。

• Z_n和Z都是可交換環。若p為一質數，則Z_p為一有限域，且亦可標記為F_p或GF(p)。其他每一個具有p個元素的域都与其同構。

• 環Z_n的可逆元為和n互質的數。它們形成一個整數模n的乘法群；它有φ(n)個元素，记作Z_n^×。

例如，當n=6時有Z_n^× = { 1, 5}，而當n=8時則有Z_n^× = {1,3,5,7}。

• 實際上可以证明，Z_n^×為循環的若且唯若n為2或4或p^k或2 p^k，其中p為一奇質數，k≥1。這裡，Z_n^×的每個生成元被稱為模n的原根。

因此，Z_n^×在n=6時是循環的，但在n=8時則不是，而轉而會同構於克萊因四元群。

• 對於每個質數p，群Z_p^×為具有p-1個元素的循環群。更一般性地，任一域中的乘法群之有限子群都是循環的。

例子

在二維和三維空间裡，n折旋轉對稱的對稱群為C_n，屬Z_n抽象群類型。在三維裡，亦存在其他代數地相同的對稱群，詳見三維點群。

需留意的是，圓的所有旋轉所組成之群S¹(圓群)不是循環的，甚至不是可數的。

• n次單位根形成一個关于乘法的n阶循環群。

• 每一個有限域之有限扩张的伽羅瓦群是有限且循環的；相反地，給定一有限域F和一有限循環群G，則存在一個F的有限域擴張，其伽羅瓦群為G。

表示

有限循環群的環圖全是有著其元素在各個角上的n邊形。下面環圖中的黑角表示是單位元素，而其他的角則為群的其他元素。一個環包括著連接著單位元之元素的接續之次方。

Z1	Z2	Z3	Z4	Z5	Z6	Z7	Z8

子群

所有循環群的子群及商群都是循環的。特別地，Z的子群為mZ的形式，其中m為非负整數。对于不同的 m ，mZ 形式的子群是不同的，且除了當然群(m=0)外都同構於Z。Z的子群格同構於以可除性排序之自然數格的對偶。所有Z的商群都是有限的，除了一個當然的例外Z/{0}之外。對每個n的正因數d，群Z/nZ恰好有一個d目的子群，它由n/d的剩餘類所產生。其不存在其他的子群。故其子群格會同構於以可除性排序之n的因數所組成的集合。

其中有一個很特別的：一個循環群是簡單的若且唯若其目(元素數目)為質數。

舉一個實際的問題，給定一個n目之有限子群C，其生成元為g，並要求求得以某一整數k之g^k所生成的子群之大小m。這裡，m會是能使mk能被n整除之最小正整數。因此其為n/t，其中t為k和n的最大公因數。換句話說，由g^k產生之子群之指標為t。其理由在數論中被稱為指標計算演算法。

自同態

阿貝爾群Z_n的自同態環會同構於此阿貝爾群，且使其構成一個環。在此同構之下，數字r會對應於將每個元素映射至其n次乘積之值上之Z_n的自同態。此一自同態只有在r和n互質時會是個雙射函數，所以Z_n的自同構群會同構於群Z_n^×(見上面)。Z_n的自同構群有時會被稱為Z_n的特徵群，且此一群的建構會直接導致對狄利克雷特徵的定義。

相似地，加法群Z的自同態環會同構於環Z，且其自同構群會同構於環Z的單位群，即{−1, +1} $\cong$ Z₂。

引用

• Gallian, Joseph, Contemporary abstract algebra. 4th, Boston: Houghton Mifflin. 1998, ISBN 978-0-669-86179-2 （英文） , especially chapter 4.
• Herstein, I. N., Abstract algebra. 3rd, Prentice Hall. 1996, MR1375019, ISBN 978-0-13-374562-7 , especially pages 53–60.

另見

• 三維循環對稱群
• 循環擴張
• 循環模
• 同餘