循環群

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群论
Rubik's cube.svg

群論裡,循環群是指能由單個元素生成。即存在一群內的元素g(此元素稱為此群的生成元),使得群內的每個元素均為g的若干次方,當群的运算以乘法表示时(為g的倍數,若群的运算以加法表示)。

定義[编辑]

單位一的 6 次複數根在乘法下形成循環群。z 是本原元而 z2 不是,因為 z 的奇數冪不是 z2 的冪。

设(G·)為一个群,若存在一G內的元素g,使得G = <g> = { gnn },则称G关于运算“ · ”形成一个循环群。由群內的一个元素所生成的群均為循环群,而且是此群的子群。当群G內含有g的唯一子群為G本身時,可證明G是循環群。

例如,若G = { e, g1, g2, g3, g4, g5 }, 則G為循環的,且G同構 6 的加法群:{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \overline{3}, \overline{4}, \overline{5}}。

分类[编辑]

對於每一個正整數 n ,都存在唯一一個(在同构的意义上)為此正整數 n 的循環群,或者说,所有的 n 阶循環群都和模 n 的同余类构成的加法群Z/nZ同构。如果一个循环群的阶是无限的,那么它同构于整數关于加法构成的群。因此,循環群已被完全分类,是最簡單的一种群。

标记[编辑]

由于循环群必然是阿貝爾群,且与加法群Z/nZ或整数的加法群同构,它的运算常常會以加法寫出,且被標記為Zn;但數論學家一般會避免使用這種標記,因為它和对应於一个素数p進數局部化的標記相衝突,容易混淆,因此也有直接记作Z/nZ,或以乘法寫出,標記為Cn的。(如在C5中的g3g4 = g2,在同构的意义上和Z/5Z中的 3 + 4 \equiv 2 \mod 5 相同。)

所有的有限循環群皆為週期群

性質[编辑]

每一個循環群都同構n的加法群:{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2},...,  \overline{n-1}}或整數的加法群Z。因此,要了解循環群的一般性質,只需要看這些群有什麼性質就可以了。所以,循環群是最容易去學習的群,且有許多的良好性質。设G是一个n(n可能是無限的,代表同构于整数)阶的循環群,gG中一个元素,则:

  • G為交換群。這是因為g + h mod n = h + g mod n
  • n為有限的,則g^n = e,因為 n mod n = 0。
  • n為無限的,則恰好存在兩個生成元,對Z而言,被稱為1及−1,且其他同構于G的群均是無限循環群。
  • n為有限的,則存在著恰好φ(n)個生成元,其中φ為歐拉函數
  • G的每一個子群都是循環群。且確實地,每一個G的 m 阶有限子群皆為模 m 的加法群{0,1,2,3,...,m−1}。而每一個G的無限子群都可以表示成mZ,同構於Z
  • Cn同構於Z/nZ(ZnZ上的商群),因為Z/nZ = {0 + nZ, 1 + nZ, 2 + nZ, 3 + nZ, 4 + nZ, ..., n − 1 + nZ} \congn為模之加法的{ 0, 1, 2, 3, 4, ..., n − 1}。
  • 更一般的,若dn因數,則在Z/nZ中,阶为d的元素有φ(d)个。同餘類m的目為n / gcd(n,m)。
  • p質數,則阶為p的群都同构于循環群Zp
  • ZnZm兩個循環群的直積是循環群若且唯若nm互質。故Z12(一个循环群)會是Z3Z4的直積,而不會是Z6Z2的直積。
  • 由定義直接可知,循環群有一其型式為< x | xn >之非常簡單的展現
  • ZnZ都是可交換環。若p為一質數,則Zp為一有限域,且亦可標記為FpGF(p)。其他每一個具有p個元素的都与其同構

例如,當n=6時有Zn× = { 1, 5},而當n=8時則有Zn× = {1,3,5,7}。

因此,Zn×n=6時是循環的,但在n=8時則不是,而轉而會同構於克萊因四元群

  • 對於每個質數p,群Zp×為具有p-1個元素的循環群。更一般性地,任一中的乘法群之有限子群都是循環的。

例子[编辑]

在二維和三維空间裡,n旋轉對稱對稱群Cn,屬Zn抽象群類型。在三維裡,亦存在其他代數地相同的對稱群,詳見三維點群

需留意的是,的所有旋轉所組成之群S1(圓群)不是循環的,甚至不是可數的。

  • n單位根形成一個关于乘法的n阶循環群。
  • 每一個有限域有限扩张伽羅瓦群是有限且循環的;相反地,給定一有限域F和一有限循環群G,則存在一個F的有限域擴張,其伽羅瓦群為G

表示[编辑]

有限循環群的環圖全是有著其元素在各個角上的n邊形。下面環圖中的黑角表示是單位元素,而其他的角則為群的其他元素。一個環包括著連接著單位元之元素的接續之次方。


GroupDiagramMiniC1.png
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Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8

子群[编辑]

所有循環群的子群商群都是循環的。特別地,Z的子群為mZ的形式,其中m為非负整數。对于不同的 m ,mZ 形式的子群是不同的,且除了當然群(m=0)外都同構ZZ子群格同構於以可除性排序之自然數格的對偶。所有Z的商群都是有限的,除了一個當然的例外Z/{0}之外。對每個n的正因數d,群Z/nZ恰好有一個d目的子群,它由n/d的剩餘類所產生。其不存在其他的子群。故其子群格會同構於以可除性排序之n的因數所組成的集合。

其中有一個很特別的:一個循環群是簡單的若且唯若其目(元素數目)為質數。

舉一個實際的問題,給定一個n目之有限子群C,其生成元為g,並要求求得以某一整數kgk所生成的子群之大小m。這裡,m會是能使mk能被n整除之最小正整數。因此其為n/t,其中tkn最大公因數。換句話說,由gk產生之子群之指標t。其理由在數論中被稱為指標計算演算法

自同態[编辑]

阿貝爾群Zn自同態環同構於此阿貝爾群,且使其構成一個。在此同構之下,數字r會對應於將每個元素映射至其n次乘積之值上之Zn的自同態。此一自同態只有在rn互質時會是個雙射函數,所以Zn自同構群會同構於群Zn×(見上面)。Zn的自同構群有時會被稱為Zn特徵群,且此一群的建構會直接導致對狄利克雷特徵的定義。

相似地,加法群Z的自同態環會同構於環Z,且其自同構群會同構於環Z的單位群,即{−1, +1}  \cong Z2

逼肖循環群[编辑]

一個群稱為逼肖循環(virtually cyclic)的,如果這個群包含一個有限指數的循環子群。換言之,一個逼肖循環群的任何元素,都可表示為這個循環子群的一個元素乘以群中某個有限子集的一個元素。一個無限群是逼肖循環的,當且僅當這個群是有限生成並且正好有兩個[1]逼肖循環群的一個簡單例子是Z/nZ直積,因子Z有有限指數n。任何格羅莫夫雙曲群阿貝爾子群都是逼肖循環群。[2]

引用[编辑]

  1. ^ Stallings, John, Groups of cohomological dimension one, Applications of Categorical Algebra (Proc. Sympos. Pure Math., Vol. XVIII, New York, 1968), Providence, R.I.: Amer. Math. Soc.. 1970:  124–128 . 特別見p. 126: "If G has two ends, the explicit structure of G is well known: G is an extension of a finite group by either the infinite cyclic group or the infinite dihedral group."
  2. ^ Alonso, J. M.; Brady, T.; Cooper, D.; Ferlini, V.; Lustig, M.; Mihalik, M.; Shapiro, M.; Short, H., Notes on word hyperbolic groups, Group theory from a geometrical viewpoint (Trieste, 1990), River Edge, NJ: World Scientific. 1991: Corollary 3.6 .

另見[编辑]