微分

在数学中，微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时，函数的值是怎样改变的。当某些函数$\scriptstyle f$的自变量$\scriptstyle x$有一个微小的改变$\scriptstyle h$时，函数的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分：在一维情况下，它正比于自变量的变化量$\scriptstyle h$，可以表示成$\scriptstyle h$和一个与$\scriptstyle h$无关，只与函数$\scriptstyle f$及$\scriptstyle x$有关的量的乘积；在更广泛的情况下，它是一个线性映射作用在$\scriptstyle h$上的值。另一部分是比$\scriptstyle h$更高阶的无穷小，也就是说除以$\scriptstyle h$后仍然会趋于零。当改变量$\scriptstyle h$很小时，第二部分可以忽略不计，函数的变化量约等于第一部分，也就是函数在$\scriptstyle x$处的微分，记作$\displaystyle f'(x)h$或$\displaystyle df_x(h)$。如果一个函数在某处具有以上的性质，就称此函数在该点可微。

不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微，便称函数在该点不可微。

在古典的微积分学中，微分被定义为变化量的线性部分，在现代的定义中，微分被定义为将自变量的改变量$\scriptstyle h$映射到变化量的线性部分的线性映射$\displaystyle df_x$。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在，就一定是唯一的。

一元微分

定义

函数在一点的微分。其中红线部分是微分量$dy$，而加上灰线部分后是实际的改变量$\Delta y$

设函数$y = f(x)$在某区间$\mathcal{I}$内有定义。对于$\mathcal{I}$内一点$x_{0}$，当$x_{0}$变动到附近的$x_{0}+\Delta x$（也在此区间内）时。如果函数的增量$\Delta y = f(x_{0}+ \Delta x) - f(x_{0})$可表示为 $\Delta y = A \Delta x + o( \Delta x)$（其中$A$是不依赖于$\Delta x$的常数），而$o( \Delta x)$是比$\Delta x$高阶的无穷小，那么称函数$f(x)$在点$x_{0}$是可微的，且$A \Delta x$称作函数在点$x_{0}$相应于自变量增量$\Delta x$的微分，记作$dy$，即$dy = A \Delta x$，$dy$是$\Delta y$的线性主部。

通常把自变量$x$的增量$\Delta x$称为自变量的微分，记作$dx$，即$dx = \Delta x$。

和导数的关系

微分和导数是两个不同的概念。但是，对一元函数来说，可微与可导是完全等价的概念。可微的函数，其微分等于导数乘以自变量的微分$dx$，换句话说，函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做微商。于是函数$y = f(x)$的微分又可记作$dy = f'(x)dx$。

几何意义

设$\Delta x$是曲线$y = f(x)$上的点$P$在横坐标上的增量，$\Delta y$是曲线在点$P$对应$\Delta x$在纵坐标上的增量，$dy$是曲线在点$P$的切线对应$\Delta x$在纵坐标上的增量。当$\left| \Delta x \right|$很小时，$\left| \Delta y - dy \right|$比$\left| \Delta y \right|$要小得多(高阶无穷小)，因此在点$P$附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。

例子

设有函数$f : x \mapsto x^2$，考虑它从某一点$\scriptstyle x$变到$\scriptstyle x + dx$。这时，函数的改变量$f(x +dx) - f(x)$等于：

$f(x+dx) - f(x)= (x + dx)^2 - x^2$

$= 2x \cdot dx + (dx)^2 = Adx + o(dx)$

其中的线性主部：$A = 2x$，高阶无穷小是$o(dx)= (dx)^2$。 因此函数$\scriptstyle f$在点$\scriptstyle x$处的微分是$dy = 2xdx$。函数的微分与自变量的微分之商$\frac{dy}{dx} = 2x = f^{\prime}(x)$，等于函数的导数。

微分法则

和求导一样，微分有类似的法则。例如，如果设函数$u$、$v$可微，那么：

• $d(au + bv) = adu + bdv$
• $d(uv) = udv + vdu$
• $d(\frac{u}{v}) = \frac{vdu - udv}{v^2}$
• 若函数$y(u)$可导，那么$d(y(u)) = y'(u)du$

多元函数微分

当自变量是多元变量时，导数的概念已经不适用了（尽管可以定义对某个分量的偏导数），但仍然有微分的概念。

定义

设$f$是从欧几里得空间Rⁿ（或者任意一个内积空间）中的一个开集$\Omega$射到R^m的一个函数。对于$\Omega$中的一点$x$及其在$\Omega$中的邻域$\Lambda$中的点$x+h$。如果存在线性映射$A$使得对任意这样的$x+h$,

$\lim_{h \to 0} \left( \frac{|f (x+h) - f(x) - A(h)|}{|h|} \right) = 0$

那么称函数$f$在点$x$处可微。线性映射$A$叫做$f$在点$x$处的微分，记作$df_x$。

如果$f$在点$x$处可微，那么它在该点处一定连续，而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别，多元函数的微分也叫做全微分或全导数。

当函数在某个区域的每一点$x$都有微分$df_x$时，可以考虑将$x$映射到$df_x$的函数：

$df : x \mapsto df_x$

这个函数一般称为微分函数。

性质

• 如果$f$是线性映射，那么它在任意一点的微分都等于自身。
• 在Rⁿ（或定义了一组标准基的内积空间）裡，函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画：

设$f$是从Rⁿ射到R^m的函数，$f = (f_1, f_2, \cdots , f_m)$，那么：

$df_x = J_f(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}$。

具体来说，对于一个改变量：$h = (h_1, h_2, \ldots , h_n) = \sum_{i=1}^n h_i e_i$，微分值：

$df_x(h) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ \vdots \\h_n \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} h_j\right) e_i$

• 可微的必要条件：如果函数$f$在一点$x_0$处可微，那么雅克比矩阵的每一个元素$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)$都存在，但反之不真。
• 可微的充分条件：如果函数$f$在一点$x_0$的雅克比矩阵的每一个元素$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)$都在$x_0$连续，那么函数在这点处可微，但反之不真。

例子

函数$f : (x, y) \mapsto \left(x^2 + y^2, (1 - x^2 - y^2)x -y, x - (1 - x^2 - y^2)y \right)$是一个从R²射到R³的函数。它在某一点$(x, y)$的雅可比矩阵为：

$J_f(x,y) = \begin{bmatrix} 2x & 2y \\ 1 - 3x^2 - y^2 & -2xy - 1 \\ 1 + 2xy & -1 + x^2 + 3y^2 \end{bmatrix}$

微分为：$df_{(x, y)} : h \mapsto J_f(x,y)(h)$，也就是：

$df_{(x, y)} : h = \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 2x & 2y \\ 1 - 3x^2 - y^2 & -2xy - 1 \\ 1 + 2xy & -1 + x^2 + 3y^2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2xh_1 + 2yh_2 \\ (1 - 3x^2 - y^2)h_1 -(2xy +1)h_2 \\ (1 + 2xy)h_1 -(1 - x^2 - 3y^2)h_2 \end{pmatrix}$

微分与微分形式

如果说微分是导数的一种推广，那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点$x$给出一个近似描述函数性质的线性映射$df_x$，而微分形式对区域$\mathbf{D}$内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式：$\omega(x):\mathbf{TD}_x \longrightarrow \mathbb{R}$。在坐标记法下，可以写成：

$\omega(x) = \sum_{1 \le i_1 \le \cdots \le i_k \le n} a_{i_1 \cdots i_k}(x) dx^{i_1}\wedge \cdots \wedge dx^{i_k}$

其中的$dx^{i}$是$i$-射影算子，也就是说将一个向量$v$射到它的第$i$个分量$v^{i}$的映射。而$x^{i_1}\wedge \cdots \wedge dx^{i_k}$是满足：

$x^{i_1}\wedge \cdots \wedge dx^{i_k}(v_{1}, \cdots v_{k}) = \begin{vmatrix} v_{1}^{i_1} & \cdots & v_{1}^{i_k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{k}^{i_1} & \cdots & v_{k}^{i_k} \end{vmatrix}$

的k-形式。

特别地，当$f$是一个从Rⁿ射到R 的函数时，可以将$df_x$写作：

$df_x = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) dx^{i}$

正是上面公式的一个特例。

参见

• 微积分
• 导数
• 积分
• 偏导数
• 外微分
• 泰勒公式

参考来源

• 齐民友. 《重温微积分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0. 
• Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.