微分

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微积分学
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega
函数 · 导数 · 微分 · 积分

数学中,微分是对函数的局部变化率的一种线性描述。微分可以近似地描述当函数自变量的取值作足够小的改变时,函数的值是怎样改变的。当某些函数\scriptstyle f的自变量\scriptstyle x有一个微小的改变\scriptstyle h时,函数的变化可以分解为两个部分。一个部分是线性部分:在一维情况下,它正比于自变量的变化量\scriptstyle h,可以表示成\scriptstyle h和一个与\scriptstyle h无关,只与函数\scriptstyle f\scriptstyle x有关的量的乘积;在更广泛的情况下,它是一个线性映射作用在\scriptstyle h上的值。另一部分是比\scriptstyle h更高阶的无穷小,也就是说除以\scriptstyle h后仍然会趋于零。当改变量\scriptstyle h很小时,第二部分可以忽略不计,函数的变化量约等于第一部分,也就是函数在\scriptstyle x处的微分,记作\displaystyle f'(x)h\displaystyle df_x(h)。如果一个函数在某处具有以上的性质,就称此函数在该点可微。

不是所有的函数的变化量都可以分为以上提到的两个部分。若函数在某一点无法做到可微,便称函数在该点不可微。

在古典的微积分学中,微分被定义为变化量的线性部分,在现代的定义中,微分被定义为将自变量的改变量\scriptstyle h映射到变化量的线性部分的线性映射\displaystyle df_x。这个映射也被称为切映射。给定的函数在一点的微分如果存在,就一定是唯一的。

一元微分[编辑]

定义[编辑]

函数在一点的微分。其中红线部分是微分量dy,而加上灰线部分后是实际的改变量\Delta y

函数y = f(x)在某区间\mathcal{I}内有定义。对于\mathcal{I}内一点x_{0},当x_{0}变动到附近的x_{0}+\Delta x(也在此区间内)时,如果函数的增量\Delta y = f(x_{0}+ \Delta x) - f(x_{0})可表示为 \Delta y = A \Delta x + o( \Delta x)(其中A是不依赖于\Delta x常数),而o( \Delta x)是比\Delta x高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x_{0}可微的,且A \Delta x称作函数在x_{0}相应于自变量增量\Delta x的微分,记作dy,即dy = A \Delta xdy\Delta y线性主部[1]:141

通常把自变量x的增量\Delta x称为自变量的微分,记作dx,即dx = \Delta x

和导数的关系[编辑]

微分和导数是两个不同的概念。但是,对一元函数来说,可微与可导是完全等价的概念[1]:141。可微的函数,其微分等于导数乘以自变量的微分dx,换句话说,函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx[2]

几何意义[编辑]

\Delta x曲线y = f(x)上的点P在横坐标上的增量,\Delta y曲线在点P对应\Delta x在纵坐标上的增量,dy是曲线在点P切线对应\Delta x在纵坐标上的增量。当\left| \Delta x \right|很小时,\left| \Delta y - dy \right|\left| \Delta y \right|要小得多(高阶无穷小),因此在点P附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

例子[编辑]

设有函数f : x \mapsto x^2,考虑它从某一点\scriptstyle x变到\scriptstyle x + dx。这时,函数的改变量f(x +dx) - f(x)等于:

f(x+dx) - f(x)= (x + dx)^2 - x^2
= 2x \cdot dx + (dx)^2 = Adx + o(dx)

其中的线性主部:A = 2x,高阶无穷小是o(dx)= (dx)^2。 因此函数\scriptstyle f在点\scriptstyle x处的微分是dy = 2xdx。函数的微分与自变量的微分之商\frac{dy}{dx} = 2x = f^{\prime}(x),等于函数的导数。

微分法则[编辑]

和求导一样,微分有类似的法则。例如,如果设函数uv可微,那么:

  • d(au + bv) = adu + bdv
  • d(uv) = udv + vdu
  • d(\frac{u}{v}) = \frac{vdu - udv}{v^2}
  • 若函数y(u)可导,那么d(y(u)) = y'(u)du[1]:139

多元函数微分[编辑]

当自变量是多元变量时,导数的概念已经不适用了(尽管可以定义对某个分量的偏导数),但仍然有微分的概念。

定义[编辑]

f是从欧几里得空间Rn(或者任意一个内积空间)中的一个开集\Omega射到Rm的一个函数。对于\Omega中的一点x及其在\Omega中的邻域\Lambda中的点x+h。如果存在线性映射A使得对任意这样的x+h,

\lim_{h \to 0} \left( \frac{|f (x+h) - f(x) - A(h)|}{|h|} \right) = 0

那么称函数f在点x处可微。线性映射A叫做f在点x处的微分,记作df_x

如果f在点x处可微,那么它在该点处一定连续,而且在该点的微分只有一个。为了和偏导数区别,多元函数的微分也叫做全微分全导数

当函数在某个区域的每一点x都有微分df_x时,可以考虑将x映射到df_x的函数:

df : x \mapsto df_x

这个函数一般称为微分函数[3]

性质[编辑]

  • 如果f是线性映射,那么它在任意一点的微分都等于自身。
  • Rn(或定义了一组标准基的内积空间)裡,函数的全微分和偏导数间的关系可以通过雅可比矩阵刻画:
f是从Rn射到Rm的函数,f = (f_1, f_2, \cdots , f_m),那么:
df_x = J_f(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}

具体来说,对于一个改变量:h = (h_1, h_2, \ldots , h_n) = \sum_{i=1}^n h_i e_i,微分值:

df_x(h) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix} \begin{pmatrix}
h_1 \\
\vdots \\h_n
\end{pmatrix} = \sum_{i=1}^m \left(\sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} h_j\right) e_i
  • 可微的必要条件:如果函数f在一点x_0处可微,那么雅克比矩阵的每一个元素\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)都存在,但反之不真[4]:76
  • 可微的充分条件:如果函数f在一点x_0的雅克比矩阵的每一个元素\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)都在x_0连续,那么函数在这点处可微,但反之不真[4]:77

例子[编辑]

函数 f : (x, y) \mapsto \left(x^2 + y^2, (1 - x^2 - y^2)x -y, x - (1 - x^2 - y^2)y \right)是一个从R2射到R3的函数。它在某一点(x, y)的雅可比矩阵为:

J_f(x,y) = \begin{bmatrix} 2x & 2y \\
1 - 3x^2 - y^2 & -2xy - 1 \\
1 + 2xy & -1 + x^2 + 3y^2 \end{bmatrix}

微分为:df_{(x, y)} : h \mapsto J_f(x,y)(h),也就是:

df_{(x, y)} : h = \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} 2x & 2y \\
1 - 3x^2 - y^2 & -2xy - 1 \\
1 + 2xy & -1 + x^2 + 3y^2 \end{bmatrix} \begin{pmatrix} h_1 \\ h_2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 2xh_1 + 2yh_2 \\
(1 - 3x^2 - y^2)h_1 -(2xy +1)h_2 \\
(1 + 2xy)h_1 -(1 - x^2 - 3y^2)h_2 \end{pmatrix}

微分与微分形式[编辑]

如果说微分是导数的一种推广,那么微分形式则是对于微分函数的再推广。微分函数对每个点x给出一个近似描述函数性质的线性映射df_x,而微分形式对区域\mathbf{D}内的每一点给出一个从该点的切空间映射到值域的斜对称形式\omega(x):\mathbf{TD}_x \longrightarrow \mathbb{R}。在坐标记法下,可以写成:

\omega(x) = \sum_{1 \le i_1 \le \cdots \le i_k \le n} a_{i_1 \cdots i_k}(x) dx^{i_1}\wedge \cdots \wedge dx^{i_k}

其中的dx^{i}i-射影算子,也就是说将一个向量v射到它的第i个分量v^{i}的映射。而x^{i_1}\wedge \cdots \wedge dx^{i_k}是满足:

x^{i_1}\wedge \cdots \wedge dx^{i_k}(v_{1}, \cdots v_{k}) = \begin{vmatrix} v_{1}^{i_1} & \cdots & v_{1}^{i_k} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v_{k}^{i_1} & \cdots & v_{k}^{i_k} \end{vmatrix}

k-形式。

特别地,当f是一个从Rn射到R 的函数时,可以将df_x写作:

df_x = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(x) dx^{i}

正是上面公式的一个特例[5]

参见[编辑]

参考来源[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 欧阳光中 姚允龙 周渊 编. 《数学分析(上册)》. 复旦大学出版社. 2003. ISBN 7-309-03570-4/O.305 请检查|isbn=值 (帮助). 
  2. ^ 梁子杰. 「可微」還是「可導」?. 數學教育. 
  3. ^ 微分函数. 逢甲大学网路教学实验室. 
  4. ^ 4.0 4.1 徐森林,薛春华. 《数学分析(第二册)》. 清华大学出版社. 2005. ISBN 978-7-302-13141-0. 
  5. ^ B.A.卓里奇 著,蒋铎、钱佩玲、周美珂、邝荣雨 译. 《数学分析》第二卷. 高等教育出版社. 2006. ISBN 978-7-040-20257-1. 第175-183页.
  • 齐民友. 《重温微积分》. 高等教育出版社. 2004. ISBN 7-040-12931-0. 
  • Walter Rudin. 《数学分析原理》(Principles of Mathematical Analysis). Mcgraw-hill Book Company. 1976. ISBN 978-0-070-54235-8.