微分代数

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数学中,微分环、微分域和微分代数是环、代数装备一个导子,一个满足莱布尼兹乘积法则一元函数。微分域的一个自然例子是复数域上的单变元有理函数 C(t),其导子是关于 t 的微分。

微分环[编辑]

一个微分环 R 是装备一个或多个导子的环

\partial:R \to R

使得每个导子满足莱布尼兹乘积法则

\partial(r_1 r_2)=(\partial r_1) r_2 + r_1 (\partial r_2),

对任何 r_1, r_2 \in R。注意环可能不交换,从而稍微标准的交换环情形的乘积法则 d(xy) = xdy + ydx 形式可能不成立。如果 M:R \times R \to R 是环上的乘法,乘积法则是恒等式

\partial \circ M = 
M \circ (\partial \otimes \operatorname{id}) + 
M \circ (\operatorname{id} \otimes \partial).\,

这里 f\otimes g 表示函数将二元组 (x,y) 映到二元组 (f(x),g(y))

微分域[编辑]

一个微分域是带有一个导子的域 K。微分域 DF 的理论,由通常域公理与另外关于导子的两个公理。和上面一样,导子在域的元素上必须服从乘积法则,或莱布尼兹法则,这是导子称为导子的原因。即对域中任何两个元素 uv

\partial(uv) = u \,\partial v + v\, \partial u,\,

由于域上的乘法可交换。导子也必须对域加法有分配律

\partial (u + v) = \partial u + \partial v\ .\,

如果 K 是一个微分域则常数域  k = \{u \in K : \partial(u) = 0\}

微分代数[编辑]

K 上一个微分代数是一个 K-代数 A,其中的导子与域可交换。即对所有 k \in Kx \in A

\partial (kx) = k \partial x.\,

在不用指标记法中,如果 \eta \colon K\to A 是定义了环上数量乘法的环同态,则有

\partial \circ M \circ (\eta \times \operatorname{Id}) = 
M \circ (\eta \times \partial).\,

同上导子对代数乘法必须服从莱布尼兹法则,以及对加法线性。从而,对所有 a,b \in Kx,y \in A

\partial (xy) = (\partial x) y + x(\partial y),\,

以及

\partial (ax+by) = a\,\partial x + b\,\partial y.\,

李代数上的导子[编辑]

李代数 \mathfrak{g} 上一个导子是一个线性 D \colon \mathfrak{g} \to \mathfrak{g} 满足莱布尼兹法则:

D([a,b]) = [a,D(b)] + [D(a),b]\,

对任何 a \in \mathfrak{g}, \operatorname{ad}(a)\mathfrak{g} 上一个导子,这由雅可比恒等式可得。任何这样的导子称为内导子

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如果 A 有单位,则 ∂(1) = 0 这是因为 ∂(1) = ∂(1 × 1) = ∂(1) + ∂(1)。例如,在特征零的微分域中,有理数总是常数域的子域。

任何域可以简单地理解为一个常数微分域。

Q(t) 具有惟一的结构成为一个微分域,由令 ∂(t) = 1 确定:域公理与导子的公理奇异保证导子是关于 t 的导数。例如,由乘法与莱布尼兹法则的交换性有 ∂(u2) = u ∂(u) + ∂(u)u= 2u∂(u)。

微分域 Q(t) 对微分方程

 \partial(u) = u

没有解。但扩充成包括函数 et 的更大的微分域,则这个方程有解。对任何微分方程系统有解的微分域称为微分闭域。这样的域存在,尽管它们不是作为代数或几何对象自然出现的。任何微分域(有界基数)嵌入一个大微分闭域。微分域是微分伽罗瓦理论中的研究对象。

自然出现的导子例子是偏导数李导数Pincherle导数Pincherle derivative)与关于这个代数中一个元素的交换子。所有这些例子是密切联系的,导子的概念将它们统一起来。

伪微分算子环[编辑]

微分环和微分域经常通过研究它们上面的伪微分算子来研究。

这是环

R((\xi^{-1})) = \left\{ \sum_{n<\infty} r_n \xi^n | r_n \in R \right\}.

这个环上的乘法定义为

(r\xi^m)(s\xi^n) = 
\sum_{k=0}^m r (\partial^k s) {m \choose k} \xi^{m+n-k}.

这里 {m \choose k}二项式系数。注意到恒等式

\xi^{-1} r = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\partial^n r) \xi^{-1-n}

这里利用了恒等式

{-1 \choose n} = (-1)^n

r \xi^{-1} = \sum_{n=0}^\infty \xi^{-1-n} (\partial^n r).

另见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Buium, Differential Algebra and Diophantine Geometry, Hermann (1994).
  • I. Kaplansky, Differential Algebra, Hermann (1957).
  • E. Kolchin, Differential Algebra and Algebraic Groups, 1973
  • D. Marker, Model theory of differential fields, Model theory of fields, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlag (1996).
  • A. Magid, Lectures on Differential Galois Theory, American Math. Soc., 1994

外部链接[编辑]