微分包含式

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数学分析中的微分包含式(Differential inclusion)是指具有如下形式的常微分方程式

\frac{dx}{dt}(t)\in F(t,x(t)),

其中F(t, x)表示了一个集合,而非\scriptstyle{\Bbb R}^d空间中一个点。对微分包含式的研究源于微分不等式投影动态系统、动态摩擦力问题和模糊集算法问题等不同的领域。

举例来讲,由库仑摩擦力的基本定理得知物体受到的摩擦力的大小为μN,方向与滑动方向相反,其中N是支持力,μ是摩擦系数。然而,在一个动态问题中,物体滑动量为0时受到的摩擦力可以是相应的受力平面内的小于等于μN任意的力,在这种情形下表示摩擦力与物体的位置、速度的函数关系就需要采用多值函数。

理论[编辑]

现有的关于微分包含式的理论通常假定 F(tx) 是关于 x 的「上半侧连续」函数,t可测,且 F(tx) 对于所有的xt都是闭合的凸集

在以上假定的条件下,有关于初值问题:

\frac{dx}{dt}(t)\in F(t,x(t)), \quad x(t_0)=x_0 在充分小的时间间隔[t0t0 + ε), ε > 0 内

的解的存在定理。若对F作进一步约束,可以得到全局状况下的解的存在定理 (\scriptstyle \Vert x(t)\Vert\,\to\,\infty as \scriptstyle t\,\to\, t^* for a finite \scriptstyle t^*)。

F(tx) 是非凸的集合时,相应的微分包含式的解的存在定理是目前的一个研究热点。

应用[编辑]

微分包含式可以被适宜地理解为非连续的常微分方程,它出现在力学系统中对动态摩擦力的研究,以及电力电子领域中对理想开关的研究等。

参见[编辑]