微分同胚

在數學中，微分同胚是適用於微分流形範疇的同構概念。這是從微分流形之間的可逆映射，使得此映射及其逆映射均為光滑（即無窮可微）的。

定義

對給定的兩個微分流形 $M, N$，若對光滑映射 $f: M \to N$，存在光滑映射 $g: N \to M$ 使得 $f \circ g = \mathrm{id}_N$、$g \circ f = \mathrm{id}_M$，則稱 $f$ 為微分同胚。此時逆映射 $g$ 是唯一的。

若在微分流形 $M, N$ 之間存在微分同胚，則稱 $M$ 與 $N$ 是微分同胚的，通常記為 $M \simeq N$。

對於 $C^r$ 流形，可採同樣辦法定義 $C^r$微分同胚之概念。

例子

考慮

$\mathbb{R}/\mathbb{Z} \simeq S^1$

此微分同胚可由下述映射給出：

$x\mapsto e^{2\pi ix}.$

與同胚的關係

對維度 $\leq 3$ 的流形，可證明同胚的流形必為微分同胚；換言之，此時流形上的拓撲結構確定了微分結構。在四維以上則存在反例，最早的構造是約翰·米爾諾的七維怪球，米爾諾更證明了七維球上恰有 28 種微分流形結構，它們都可表成某個在 $S^4$ 上的 $S^3$-叢。在1980年代，西蒙·唐納森與邁克爾·哈特利·弗里德曼的證明在 $\mathbb{R}^4$ 上有不可數個相異的微分結構。

外部連結

• D.V. Anosov, Diffeomorphism//Hazewinkel, Michiel, 数学百科全书, 克鲁维尔学术出版社. 2001, ISBN 978-1556080104