微分方程

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一個導管中氣流的模擬，使用納維-斯托克斯方程式
一個導管中氣流的模擬，使用納維-斯托克斯方程式

微分方程（这里指的是全微分方程）指含有一次、二次、乃至高次微分未知数的方程。是解决偏微分方程、数理方程的基础。微分方程的表达通式是：

f\left(x, \frac{d^n y}{dx^n},\frac{d^{(n-1)} y}{dx^{(n-1)}},\cdots, \frac{dy}{dx}, y\right)=0

目录

[编辑] 微分方程的解

微分方程的解通常是一个函数表达式 y=f(x)\,（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。例如：

\frac{dy}{dx}=\sin x \,

的解是

y=-\cos x+C \,

其中C是待定常数；

如果知道

y=f(\pi)=2 \,

则可推出

C=1 \,

[编辑] 微分方程的线性化

大部分非线性微分方程，都不能得出通解。但是，可以对其在一定范围之内进行线性化求出近似解。例如：

\frac{d^2{y}}{dx^2}+\sin y=3x

在y\to 0的情况下，\sin y\approx y ，我们得到近似线性微分方程

\frac{d^2{y}}{dx^2}+y=3x

它是可解的。

有許多特殊函數，都是為了無法得出多項函數或超越函數型式的解析解的微分方程而定義出來。這些特殊函數之所以重要，是因為它們描述了自然界中的某些現象，例如，電子的活動、鼓皮的振動、鐘擺的擺動等等。

[编辑] 各种线性微分方程

[编辑] 常系数齐次线性全微分方程

常系数齐次线性全微分方程

\frac {d^{n}y} {dx^{n}} + A_{1}\frac {d^{n-1}y} {dx^{n-1}} + \cdots + A_{n}y = 0\,

它的解取决于以下的特征方程：

F(z) = z^{n} + A_{1}z^{n-1} + \cdots + A_n = 0\,

上式中 z^k\, 取代了

\frac {d^{k}y} {dx^{k}}\quad\quad(k = 1, 2, \cdots, n).
y''''-2y'''+2y''-2y'+y=0 \,

有以下特征方程

z^4-2z^3+2z^2-2z+1=0 \,.

它有 零解, i\,, -i\,, 和 1\, 四个解，解基为：

e^{ix}\,, e^{-ix}\,, e^x\,, xe^x\,.

这和以下实数解基相对应：

\cos x\,, \sin x\,, e^x\,, xe^x \,.

如果 z\, 是 F(z)\,(很可能不是实数)的根 且 k\in\{0,1,\dots,m-1\} \, 那么 y=x^ke^{zx} \, 是微分方程的一个解. 这些方程组成了这个微分方程的基 .

如果 A^i\, 是实数，那么我们更喜欢得到实数解. 因为非实数z\,值会引入共轭对, y的情况也类似; 将原来各对替换为它们实部Re(y)和虚部Im(y)的线性组合.

复根的情况可以应用欧拉公式来解决：

  • 例如: 对于y''-4y'+5y=0 \,. 特征方程是z^2-4z+5=0 \, 有以下几个根 2+i and 2−i. 因此，解基 {y1,y2} 为 \{e^{(2+i)x},e^{(2-i)x}\} \,. y是根当且仅当 y=c_1y_1+c_2y_2 \, ； c_1,c_2\in\mathbb C\,.

因为系数是实数

  • 我们对复数表达式不太感兴趣;
  • 我们的基是共轭表达式.

以下线性组合

u_1=\mbox{Re}(y_1)=\frac{y_1+y_2}{2}=e^{2x}\cos(x) \,和
u_2=\mbox{Im}(y_1)=\frac{y_1-y_2}{2i}=e^{2x}\sin(x) \,

可以给我们关于\{u_1,u_2\}\,的实数表达式.

[编辑] 常系数非齐次线性全微分方程

[编辑] 变系数全微分方程

[编辑] 参见


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