微分算子

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数学中,微分算子是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上,将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的,它接受一个函数得到另一个函数(以计算机科学高阶函数的方式)。

当然有理由不单限制于线性算子;例如施瓦茨导数是一个熟知的非线性算子。不过这里只考虑线性的情形。

记号[编辑]

最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括:

{d \over dx}
D,\, 这里关于哪个变量微分是清楚的,以及
D_x,\, 这里指明了变量。

一阶导数如上所示,但当取更高阶 n-次导数时,下列替代性记号是有用的:

d^n \over dx^n
D^n\,
D^n_x.\,

记号 D 的发明与使用归于奥利弗·赫维赛德,他在研究微分方程中考虑了如下形式的微分算子

\sum_{k=0}^n c_k D^k.\,

另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子,定义为

\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.\,

另一个微分算子是 Θ 算子,定义为

\Theta = z {d \over dz}.\,

有时候这也称为齐次算子,因为它的本征函数是关于 z 的单项式:

\Theta (z^k) = k z^k,\quad k=0,1,2,\dots

n 个变量中齐次算子由

\Theta = \sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial}{\partial x_k}

给出。与单变量一样,Θ 的本征空间齐次多项式空间。

一个算子的伴随[编辑]

给定一个线性微分算子 T

Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u,\,

这个算子的伴随定义为算子 T^* 使得

\langle Tu,v \rangle = \langle u, T^*v \rangle

这里记号 \langle\cdot,\cdot\rangle 表示数量积点积。从而此定义取决于数乘的定义。

单变量中的形式伴随[编辑]

平方可积函数空间中,数量积定义为

\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x) \, \overline{g(x)} \,dx.

如果另外增添要求 fgx \to ax \to b 等于零,我们也可定义 T 的伴随为

T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k [a_k(x)u].\,

此公式不明显地取决于数量积的定义,故有时作为伴随算子的一个定义。当 T^* 用这个公式定义时,它称为 T形式伴随

一个(形式)自伴算子是与它的(形式)伴随相等的算子。

多变量[编辑]

如果 Ω 是 Rn 中一个区域,而 P 是 Ω 上一个微分算子,则 PL2(Ω) 中的伴随由对偶性以类似的方式定义:

\langle f, P^* g\rangle_{L^2(\Omega)} = \langle P f, g\rangle_{L^2(\Omega)}

对所有光滑 L2 函数 fg。因为光滑函数在 L2 中是稠密的,这在 L2 的一个稠密子集上定义了伴随:: P* 是一个稠定算子

例子[编辑]

施图姆-刘维尔算子是形式自伴算子一个熟知的例子。这个二阶微分算子 L 可以写成如下形式

Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u.\;\!

这个性质可用上面的形式自伴的定义来证明。

\begin{align}
L^*u & {} = (-1)^2 D^2 [(-p)u] + (-1)^1 D [(-p')u] + (-1)^0 (qu) \\
 & {} = -D^2(pu) + D(p'u)+qu \\
 & {} = -(pu)''+(p'u)'+qu \\
 & {} = -p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu \\
 & {} = -p'u'-pu''+qu \\
 & {} = -(pu')'+qu \\
 & {} = Lu
\end{align}

这个算子在施图姆-刘维尔理论Sturm–Liouville theory) 中的关键,其中考虑了这个算子本征函数(类比于本征向量)。

微分算子的性质[编辑]

微分是线性的,即

D(f+g) = (Df)+(Dg)\,
D(af) = a(Df)\,

这里 fg 是函数,而 a 是一个常数。

任何以函数为系数之 D 的多项式也是一个微分算子。我们也可以通过法则

(D_1 \circ D_2)(f) = D_1(D_2(f)).\,

复合微分算子。需要一些注意:首先算子 D2 中的任何函数系数必须具有 D1 所要求的可微次数。为了得到这样运算的一个环,我们必须假设所用的系数的所有阶导数。第二,这个环不是交换的:一个算子 gD 一般与 Dg 不同。事实上我们有例,如在量子力学中的基本关系:

Dx - xD = 1.\,

但这些算子的子环:D常系数多项式是交换的。它可以另一种方式刻画:它由平移不变算子组成。

微分算子也服从移位定理shift theorem)。

多变量[编辑]

同样的构造可对偏导数也成立,关于不同的变量微分给出可交换的算子(参见二阶导数的对称性)。

坐标无关描述以及与交换代数的关系[编辑]

微分几何代数几何中,通常习惯于对两个向量丛之间的微分算子有一个坐标无关描述。设 EF 是流形 M 上两个向量丛。截面的一个 \mathbb{R}-线性映射 P: \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(F)\, 称为一个 k-阶微分算子如果它分解穿过节丛 J^k(E)\,。换句话说,存在一个向量丛的线性映射

i_P: J^k(E) \rightarrow F\,

使得

P = \hat{i}_P\circ j^k

这里 \hat{i}_P 表示由 i_P\, 在截面上诱导的映射,而 j^k:\Gamma(E)\rightarrow \Gamma(J^k(E))\, 是典范(或通用) k-阶微分算子。

这恰好意味着对一个给定的截面 s of EP(s) 在一个点 x\in M 的值完全由 sxk-阶无穷小行为决定。特别地这蕴含着 P(s)(x)sx决定,这说明了微分算子是局部的。一个基本的结果是皮特定理Peetre theorem)证明了逆命题也是正确的:任何局部算子是微分。

线性微分算子的一个等价的,但纯代数的描述如下: 一个 \mathbb{R}-线性映射 P 是一个 k-阶微分算子,如果对任何 (k + 1) 阶光滑函数 f_0,\ldots,f_k \in C^\infty(M) 我们有

[f_k[f_{k-1}[\cdots[f_0,P]\cdots]]=0.

这里括号 [f,P]:\Gamma(E)\rightarrow \Gamma(F) 定义为交换子

[f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).\,

线性算子的这个刻画说明,它们是一个交换代数上的之间的一个特殊映射,使这个概念可视为交换代数的一部分。

例子[编辑]

相关条目[编辑]