微分算子

在数学中，微分算子是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上，将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的，它接受一个函数得到另一个函数（以计算机科学中高阶函数的方式）。

当然有理由不单限制于线性算子；例如施瓦茨导数是一个熟知的非线性算子。不过这里只考虑线性的情形。

记号 [编辑]

最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括：

${d \over dx}$

$D,\,$ 这里关于哪个变量微分是清楚的，以及

$D_x,\,$ 这里指明了变量。

一阶导数如上所示，但当取更高阶 n-次导数时，下列替代性记号是有用的：

$d^n \over dx^n$

$D^n\,$

$D^n_x.\,$

记号 D 的发明与使用归于奥利弗·赫维赛德，他在研究微分方程中考虑了如下形式的微分算子

$\sum_{k=0}^n c_k D^k.\,$

另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子，定义为

$\Delta=\nabla^{2}=\sum_{k=1}^n {\partial^2\over \partial x_k^2}.\,$

另一个微分算子是 Θ 算子，定义为

$\Theta = z {d \over dz}.\,$

有时候这也称为齐次算子，因为它的本征函数是关于 z 的单项式：

$\Theta (z^k) = k z^k,\quad k=0,1,2,\dots$

在 n 个变量中齐次算子由

$\Theta = \sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial}{\partial x_k}$

给出。与单变量一样，Θ 的本征空间是齐次多项式空间。

一个算子的伴随 [编辑]

参见：埃尔米特伴随

给定一个线性微分算子 T

$Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u,\,$

这个算子的伴随定义为算子 $T^*$ 使得

$\langle Tu,v \rangle = \langle u, T^*v \rangle$

这里记号 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 表示数量积或点积。从而此定义取决于数乘的定义。

单变量中的形式伴随 [编辑]

在平方可积函数空间中，数量积定义为

$\langle f, g \rangle = \int_a^b f(x) \, \overline{g(x)} \,dx.$

如果另外增添要求 f 或 g 当 $x \to a$ 与 $x \to b$ 等于零，我们也可定义 T 的伴随为

$T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k [a_k(x)u].\,$

此公式不明显地取决于数量积的定义，故有时作为伴随算子的一个定义。当 $T^*$ 用这个公式定义时，它称为 T 的形式伴随。

一个（形式）自伴算子是与它的（形式）伴随相等的算子。

多变量 [编辑]

如果 Ω 是 Rⁿ 中一个区域，而 P 是 Ω 上一个微分算子，则 P 在 L²(Ω) 中的伴随由对偶性以类似的方式定义：

$\langle f, P^* g\rangle_{L^2(\Omega)} = \langle P f, g\rangle_{L^2(\Omega)}$

对所有光滑 L² 函数 f 与 g。因为光滑函数在 L² 中是稠密的，这在 L² 的一个稠密子集上定义了伴随：: P^* 是一个稠定算子。

例子 [编辑]

施图姆-刘维尔算子是形式自伴算子一个熟知的例子。这个二阶微分算子 L 可以写成如下形式

$Lu = -(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u.\;\!$

这个性质可用上面的形式自伴的定义来证明。

$\begin{align} L^*u & {} = (-1)^2 D^2 [(-p)u] + (-1)^1 D [(-p')u] + (-1)^0 (qu) \\ & {} = -D^2(pu) + D(p'u)+qu \\ & {} = -(pu)''+(p'u)'+qu \\ & {} = -p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu \\ & {} = -p'u'-pu''+qu \\ & {} = -(pu')'+qu \\ & {} = Lu \end{align}$

这个算子在施图姆-刘维尔理论（Sturm–Liouville theory）中的关键，其中考虑了这个算子本征函数（类比于本征向量）。

微分算子的性质 [编辑]

微分是线性的，即

$D(f+g) = (Df)+(Dg)\,$

$D(af) = a(Df)\,$

这里 f 和 g 是函数，而 a 是一个常数。

任何以函数为系数之 D 的多项式也是一个微分算子。我们也可以通过法则

$(D_1 \circ D_2)(f) = D_1(D_2(f)).\,$

复合微分算子。需要一些注意：首先算子 D₂ 中的任何函数系数必须具有 D₁ 所要求的可微次数。为了得到这样运算的一个环，我们必须假设所用的系数的所有阶导数。第二，这个环不是交换的：一个算子 gD 一般与 Dg 不同。事实上我们有例，如在量子力学中的基本关系：

$Dx - xD = 1.\,$

但这些算子的子环：D 的常系数多项式是交换的。它可以另一种方式刻画：它由平移不变算子组成。

微分算子也服从移位定理（shift theorem）。

多变量 [编辑]

同样的构造可对偏导数也成立，关于不同的变量微分给出可交换的算子（参见二阶导数的对称性）。

坐标无关描述以及与交换代数的关系 [编辑]

在微分几何与代数几何中，通常习惯于对两个向量丛之间的微分算子有一个坐标无关描述。设 $E$ 与 $F$ 是流形 $M$ 上两个向量丛。截面的一个 $\mathbb{R}$ -线性映射 $P: \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(F)\,$ 称为一个 k-阶微分算子如果它分解穿过节丛 $J^k(E)\,$ 。换句话说，存在一个向量丛的线性映射

$i_P: J^k(E) \rightarrow F\,$

使得

$P = \hat{i}_P\circ j^k$

这里 $\hat{i}_P$ 表示由 $i_P\,$ 在截面上诱导的映射，而 $j^k:\Gamma(E)\rightarrow \Gamma(J^k(E))\,$ 是典范（或通用） k-阶微分算子。

这恰好意味着对一个给定的截面 $s$ of $E$ ， $P(s)$ 在一个点 $x\in M$ 的值完全由 $s$ 在 $x$ 的 k-阶无穷小行为决定。特别地这蕴含着 $P(s)(x)$ 由 $s$ 在 $x$ 的芽决定，这说明了微分算子是局部的。一个基本的结果是皮特定理（Peetre theorem）证明了逆命题也是正确的：任何局部算子是微分。