微积分学

微積分學 （Calculus，拉丁语意为用来计数的小石头） 是研究極限、微分學、積分學和无穷级数的一个數學分支，并成为了现代大学教育的重要组成部分。历史上，微积分曾经指无穷小的计算。更本质的讲，微积分学是一门研究变化的科学，正如几何学是研究形状的科学，代数学是研究代数运算和解方程的科学一样。

微积分学在科学、经济学和工程学领域有广泛的应用，用來解决那些仅依靠代数学不能有效解决的问题。微积分学在代数学、三角学和解析几何学的基础上建立起来，并包括微分学、积分学两大分支。微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行演绎。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。微積分學基本定理指出，微分和積分互為逆運算，這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學，但是在教學中一般會先引入微分學。在更深的数学领域中，微积分学通常被称为分析学，并被定义为研究函数的科学。

歷史

積分的起源很早，古希臘時期就有用窮盡的方法來求特殊圖形面積的研究。阿基米德用內接正多邊形的周長來窮盡圓周長，而求得圓周率的近似值；也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形，以求得其面積。這些都是窮盡法的古典例子。

文藝復興之後，基於實際的需要及理論的探討，積分技巧有了進一步的發展。譬如為了航海的方便，傑拉杜斯·麥卡托發明了所謂的麥卡托投影法，使得地圖上的直線就是航海時保持定向的斜駛線。

17世紀的前半是微積分學的醞釀時期，觀念在摸索中，計算是個別的，應用也是個別的。而後戈特弗里德·威廉·萊布尼茨和艾薩克·牛頓兩人幾乎同時使微積分觀念成熟，澄清微、積分之間的關係，使計算系統化，並且把微積分大規模使用到幾何與物理研究上。學術界曾對於誰發明微積分有極大的爭論，兩人亦曾為爭奪微積分的發明權訴諸皇家學會仲裁。

在他們創立微積分以前，人們把微分和積分視為獨立的學科，之後才確實劃分出“微積分學”這門學科。而“微積分”之名與其使用之運算符號則是萊布尼茨所創。

在牛頓、萊布尼茨以前，對微分、積分最有貢獻的大概要算皮埃爾·德·費馬，可惜他未能體會兩者之間的密切關係。而牛頓的老師伊薩克·巴羅雖然知道兩者之間有互逆的關係，但他不能體會此種關係的意義，其原因之一就是求導數還沒有一套有系統的計算方法。古希臘平面幾何的成功給予西方數學非常深遠的影響：一般認為唯有幾何的論證方法才是嚴謹、真正的數學，代數不過是輔助的工具而已。直到笛卡兒及費馬倡導以代數的方法研究幾何的問題，這種態度才漸有轉變。可是一方面幾何思維方式深植人心，而另一方面代數方法仍然未臻成熟，實數系統遲遲未能建立，所以許多數學家仍然固守幾何陣營而不能發展出有效的計算方法，巴羅便是其中之一。牛頓雖然背叛了他老師的純幾何觀點而發展出了有效的微分方法，可是他遲遲未敢發表。雖然他利用了微積分的技巧，由萬有引力及運動定律出發說明了他的宇宙體系，但因害怕當時人的批評，所以在他1687年的巨著《自然哲学的数学原理》中仍把微積分的痕跡抹去，而以古典的幾何論證方式論述。

微積分實際被許多人不斷地完善，也離不開巴羅、笛卡兒、費馬、惠更斯和沃利斯的貢獻。

牛頓和萊布尼茨雖然把微積分系統化，但是它還是不夠嚴謹。可是當微積分被成功地用來解決許多問題，卻使得十八世紀的數學家偏向其應用，而少致力於其嚴謹。當時，微積分學的發展幸而掌握在幾個非常優越的數學家，如歐拉、拉格朗日、拉普拉斯、达朗贝尔及伯努利世家等人的手裡。研究的問題由自然現象而來，所以能以自然現象的數據來驗合微積分的許多推論，使微積分學不因基礎不穩而隱含錯誤。在這些眾數學家的手中，微積分學的範圍很快地超過現在大學初階段所授的微積分課程，而邁向更高深的解析學。

發展現代微積分理論的一個動力是為了解決「切線問題」，另一個是「面積問題」。

主要概念

微積分主要有三大類分支：極限、微分學、積分學。微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運算，牛頓和萊布尼茨發現了這個定理以後才引起了其他學者對於微積分學的狂熱的研究，而這個發現也使得我們在微分和積分之間可以互相轉換。這個基本理論也提供了一個用代數計算許多積分問題的方法，也就是用不定積分法取代極限運算法。該理論也可以解決一些微分方程的問題，解決未知數的積分。微分問題在科學領域無處不在。

微積分的基本概念還包括函數、無窮序列、無窮級數和連續等，運算方法主要有符號運算技巧，該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連。

微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、複分析、時域微分和微分拓撲等領域。微積分的現代版本是實分析。

極限和无穷小

微積分中最重要的概念是「極限」。微商（即導數）是一種極限。定積分也是一種極限。

從牛頓實際使用它到制定出周密的定義，數學家們奮鬥了200多年。現在使用的定義是魏尔斯特拉斯於19世紀中葉給出的。

數列極限就是當一個有順序的數列往前延伸時，如果存在一個有限數（非無限大的數），使這個數列可以無限地接近這個數，這個數就是這個數列的極限。

數列極限的表示方法是：

$\lim_{n \to \infty}x_n = L$

其中 $L$ 就是極限的值。例如當 $x_n = {1 \over 2n}$ 時，它的極限為 $L=0$。就是說$n$越大（越往前延伸），這個值越趨近於$0$。

微积分是在做一些较小数的计算时发展形成的。历史上，一开始是用无穷小量来做。无穷小量可以被看作是一个数，但是从某种意义上来说，它“无穷小”。一个无穷小数dx能够比0都大，但是小于数列1，1/2，1/3，……任一个数，以及小于任何正实数。任何整数倍数的无穷小还是无穷小，换句话说，无穷小不满足阿基米德性质。从这一点来看，微积分是一组处理无穷小的方法，这种方法失宠于19世纪，因为无穷小的概念不够精确。但是，这个概念在20世纪由于非标准分析以及光滑无穷小分析的引进被重新提及，非标准分析为无穷小的操作提供了坚实的基础。在19世纪，无穷小被极限取代，极限描述的是与函数在某一点附近的值有关的值。它们描述了函数在某处附近的行为，类似无穷小，但是使用了普通的实数系统。在这种理论下，微积分是一组处理极限的方法。无穷小被很小的数代替，函数无穷小附近的行为是通过取距离越来越小时的极限来找到的。极限是提供微积分严格的基础最简单的方式，基于这个原因，它们是标准的做法。

導數

我們知道在運動學中，平均速度等於通過的距離除以所花費的時間——在一小段間隔的時間內，除上其走過的一小段距離，等於這一小段時間內的速度，但是當這一小段間隔的時間趨於零，也就是瞬時速度時，則無法按照通常的除法計算，這時的速度為時間的導數，得用求導的方法計算。也就是說，一個函數的自變量趨近某一極限時，其因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導數。在速度問題上，距離是時間的因變量，隨時間變化而變化；當時間趨於某一極限時，距離增量除以時間增量的極限即為距離對時間的導數。

導數的幾何意義是該函數曲線在這一點上的切線斜率。

微分學

微分學主要研究的是在函數自變量變化時如何確定函數值的瞬時變化率（導數或微商）。換言之，計算導數的方法就叫微分學。微分學的另一個計算方法是牛頓法，該算法又叫應用幾何法，主要通過函數曲線的切線來尋找點斜率。費馬常被稱作「微分學的鼻祖」。

微分学研究的是一个函数的导数的定义，性质和应用。求导的过程被称为微分。给定一个函数和定义域内的一个点，在那个点的导数描述了该函数在那一点附近的表现。通过找出一个函数定义域内每一点的导数，可以生成一个新的函数，叫做原函数的导函数，或者导数。在数学术语中，导数是输入一个函数，输出另一个函数的线性算子。这比初等代数里的过程更抽象一些，初等代数里的函数常常是输入一个数，并输出另一个数。例如，如果在倍增函数中输入3，则输出6，和如果在平方函数中输入3，则输出9。但是，微分能把平方函数作为输入，这意味着微分利用平方函数的所有信息去产生另一个函数（生成的函数是倍增函数）。导数的最常见的符号是一个类似撇号的符号，叫作“撇”。从而函数f的导数是f'，读作“f一撇”。例如，如果f(x)=x^2是平方函数，那么它的导数f'(x)=2x是倍增函数。如果函数的输入量代表时间，那么导数就代表关于时间的变化。例如，如果f是输入时间，输出那个时间的球的位置的函数，则f的导数就是位置随着时间怎样变化，这就是球的速度。如果一个函数是线性的（也就是说，如果函数的图像是一条直线），那么这个函数可以写成y=mx+b，x是自变量，y是应变量，b是y截距，且

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}.$

这个公式给了一条直线的斜率的一个准确值。如果这个函数的图像不是一条直线，那么在y上的变化量除以在x上的变化量随x改变。导数给出了输出量关于输入量的变化率这一概念一个确切的含义。具体来说，设f是一个函数，并在它的定义域内取一个点a，(a,f(a))是这个函数图像中的一个点。假设h是一个接近于0的数，这时a+h是一个接近于a的数。所以(a+h,f(a+h))是节点于(a,f(a))的。这两点间的斜率是

$m = \frac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}.$

这个表达式称为差商。通过曲线上的两个点的一条线称为割线，所以m是(a,f(a))和(a+h,f(a+h))间割线的斜率。割线仅仅是函数在a点行为的一个近似，因为它不能解释函数在a到a+h之间的情况。通过设定h为0来发现函数在a处的行为是不可能的，因为这需要除以0，而除以0也是不可能的。导数定义为h趋向于0时差商的极限，就是说用h可取的所有可能小的值来研究f的行为，并取一个合适的值作为当h等于0时差商的值。

$\lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}.$

几何上，导数是函数f在a点处切线的斜率。切线是割线的极限，正如导数是差商的极限。因此，导数有时也被称为f的斜率。这里有一个具体的例子，就是求一个平方函数在x等于3处的导数。令这个平方函数为f(x)=x^2:

$\begin{align}f'(3) &=\lim_{h \to 0}{(3+h)^2 - 3^2\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0}{9 + 6h + h^2 - 9\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0}{6h + h^2\over{h}} \\ &=\lim_{h \to 0} (6 + h) \\ &= 6. \end{align}$

平方函数在点（3，9）处的切线斜率是6，也就是说，它是朝上走的速度是朝右走的速度的6倍。若平方函数的定义域中的任一点都存在刚才所描述的极限，那么我们就把它定义为平方函数的导函数，也简称为平方函数的导数。以上的一个相似计算表明平方函数的导数是倍增函数。

積分學

積分學是微分學的逆運算，即從導數推算出原函數,又分為定積分與不定積分。一個一元函數的定積分可以定義為無窮多小矩形的面積和，約等於函數曲線下包含的實際面積。因此，我們可以用積分來計算平面上一條曲線所包含的面積、球體或圓錐體的表面積或體積等。而不定積分的用途較少，主要用於微分方程的解。

微積分的符號

微分學中的符號「$\textrm{d}x$」、「$\textrm{d}y$」等，係由萊布尼茨首先使用。其中的$\textrm{d}$源自拉丁语中「差」（Differentia）的第一個字母。積分符號「$\int_{}\,$」亦由萊布尼茨所創，它是拉丁语「總和」（Summa）的第一個字母s的伸長（和Σ有相同的意義）。

微積分學的應用

微積分學的發展與應用幾乎影響了現代生活的所有領域。它與大部分科學分支關係密切，特別是物理學；經濟學亦經常會用到微積分學。幾乎所有現代技術，如建築、 航空等都以微積分學作為基本數學工具。

微積分學課程

在大學的理工科教学中，微积分是「高等數學」的主要内容之一。其教學法由學科創立一開始就受到人們重視。 在香港新高中課程中，微積分是數學延展部分單元一及二的一部份。

參見

• 無窮小量分析 （Infinitesimal calculus）
• 埃里克·韦斯坦因, 微積分 at MathWorld
• 非标准分析

外部链接

• （英文）微積分網路教學资料
• 微积分拾阶
• 一起来学微积分
• 高等数学/微积分