微积分学
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一元微积分
多元微积分
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微積分學（Calculus）是數學的一個基礎學科。內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學包括求導數的運算，是一套關於變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。
微積分學基本定理指出，微分和積分互為逆運算，這也是兩種理論被統一成微積分學的原因。我們可以以兩者中任意一者為起點來討論微積分學，但是在教學中，微分學一般會先被引入。
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[编辑] 微積分的發展歷史
積分的起源很早，古希臘時期就有求特殊圖形面積的研究；用的是窮盡的方法。
阿基米德（Archimedes）用內接正多邊形的周長來窮盡圓周長，而求得圓周率愈來愈好的近似值，也用一連串的三角形來填充拋物線的圖形，以求得其面積；這些都是窮盡法的古典例子。
文藝復興之後，基於實際的需要及理論的探討，積分技巧有了進一步的發展。譬如為了航海的方便，麥卡托(Mercator) 發明了所謂的麥氏投影法，使得地圖上的直線就是航海時保持定向的斜駛線。
17世紀的前半，是微積分學的醞釀時期。確實劃分微積分學這門學科是在17世紀由萊布尼茨和牛頓幾乎同時創立的，對此學界曾有極大的爭論，兩人曾為爭奪微積分的發明權訴諸皇家學會仲裁。 在他們創立微積分以前，人們把微分和積分視為獨立的學科。而微積分之名與其符號之使用則是萊布尼茲所創。
雖然說微積分是萊布尼茨和牛頓 發明的，但是指的是他們兩人使微積分觀念成熟，澄清微、積分之間的關係，使計算系統化，並且把微積分大規模使用到幾何與物理上。在他們之前，微積分是萌芽時期，觀念在摸索中，計算是個別的，應用也是個別的。
在牛頓、萊布尼茲以前，對微分、積分最有貢獻的大概要算費馬了，可惜他未能體會兩者之間的密切關係。而牛頓的老師巴婁（I. Barrow, 1630～1677）雖然知道兩者之間有互逆的關係，但他不能體會此種關係的意義，其原因之一就是求導數還沒有一套有系統的計算方法。古希臘平面幾何的成功，予西方數學非常深遠的影響，一般認為，唯有幾何的論證方法才是嚴格的，才是真正的數學，代數也不過是輔助的工具而已。直到笛卡兒及費馬倡導以代數的方法研究幾何的問題。這種態度才漸有轉變。可是一方面幾何思維方式深植人心，而另一方面代數方法仍然未臻成熟，實數系統遲遲未能建立，所以許多數學家仍然固守幾何陣營而不能有有效的計算方法，如巴婁就是。牛頓雖然背叛了他老師的純幾何觀點，發展了有效的微分方法，可是他的方法遲遲未敢發展。雖然他用了微積分的技巧，由萬有引力及運動定律出發說明了他的宇宙體系，但因害怕當時人的批評，在他1687年的巨著《Principia》中，卻把微積分的痕跡抹去，而仍以古典的幾何論證方式論述。
微積分實際被許多人不斷地完善，也離不開巴羅、笛卡爾、費馬、惠更斯和沃利斯的貢獻。
牛頓、萊布尼茲雖然把微積分系統化，但它還是不嚴格的。可是微積分被成功地用來解決許多問題，卻使十八世紀的數學家偏向其應用性，而少致力於其嚴格性。當時，微積分學的發展幸而掌握在幾個非常優越的數學家，如歐拉（L. Euler, 1707～1783）、拉格朗日（J.U. Lagrange, 1736~1813）、拉普拉斯（P.S. de Laplace, 1749~1827）、達蘭伯（J.de R. d'Alembert, 1717~1783）及白努利(D. Bernoulli, 1700~1782) 世家等人的手裡。
研究的問題由自然現象而來，所以能以自然現象的數據來驗合微積分的許多推論。使微積分學不因基礎不穩而將之錯誤。在這些眾數學家的手中，微積分學的範圍很快地超過現在大學初階段所授的微積分課程，而邁向更高深的解析學。
發展現代微積分理論的一個動力是為了解決「切線問題」，另一個是「面積問題」。
[编辑] 微積分的主要內容
微積分主要有三大類分支：極限、微分學、積分學。微積分的基本理論表明了微分和積分是互逆運算。牛頓和萊布尼茲發現了這個定理以後才引起了其他學者對於微積分學的狂熱的研究。這個發現使我們在微分和積分之間互相轉換。這個基本理論也提供了一個用代數計算許多積分問題的方法，該方法並不真正進行極限運算而是通過發現不定積分。該理論也可以解決一些微分方程的問題，解決未知數的積分。微分問題在科學領域無處不在。
微積分的基本概念還包括函數、無窮序列、無窮級數和連續等，運算方法主要有符號運算技巧，該技巧與初等代數和數學歸納法緊密相連。
微積分被延伸到微分方程、向量分析、變分法、複分析、時域微分和微分拓撲等領域。微積分的現代版本是實分析。
[编辑] 極限
微積分中最重要的概念是「極限」。微商（即導數）是一種極限。定積分也是一種極限。
從牛頓實際使用它到制定出周密的定義，數學家們奮鬥了200多年。現在使用的定義是維斯特拉斯於19世紀中葉給出的。
數列極限就是當一個有順序的數列往前延伸時，如果存在一個有限數（非無限大的數），使這個數列可以無限地接近這個數，這個數就是這個數列的極限。
數列極限的表示方法是：
其中 L 就是極限的值。例如當 
時，它的極限為 L = 0。就是說n越大(越往前延伸)，這個值越趨近於0。
[编辑] 導數
我們知道在運動學中，平均速度等於通過的距離除以所花費的時間，同樣在一小段間隔的時間內，除上其走過的一小段距離，等於這一小段時間內的速度，但當這一小段間隔的時間趨於零時，這時的速度為瞬時速度，無法按照通常的除法計算，這時的速度為時間的導數。得用求導的方法計算。也就是說，一個函數的自變量趨近某一極限時，其因變量的增量與自變量的增量之商的極限即為導數。在速度問題上，距離是時間的因變量，隨時間變化而變化，當時間趨於某一極限時，距離增量除以時間增量的極限即為距離對時間的導數。
[编辑] 微分學
微分學主要研究的是：在函數自變量變化時如何確定函數值的瞬時變化率(或微分)。換言之，計算導數的方法就叫微分學。微分學的另一個計算方法是牛頓法，該算法又叫應用幾何法，主要通過函數曲線的切線來尋找點斜率。費馬常被稱作「微分學的鼻祖」。
[编辑] 積分學
積分學是微分學的逆運算，即從導數推算出原函數。又分為定與不定積分。一個一元函數的定積分可以定義為無窮多小矩形的面積和，約等於函數曲線下包含的實際面積。根據以上認識，我們可以用積分來計算平面上一條曲線所包含的面積、球體或圓錐體的表面積或體積等。 而不定積分，用途較少，主要用於微分方程的解。
[编辑] 微積分的符號
微分學中的符號「dx」、「dy」等，係由萊布尼茲首先使用。其中的d源自德語中「差」（Differentia）的第一個字母。積分符號「∫」亦由萊布尼茲所創，它是德語「總和」（Summe）的第一個字母s的伸長(和Σ有相同的意義)。
[编辑] 微積分學的應用
微積分學的發展與應用幾乎影響了現代生活的所有領域。它與大部分科學分支，特別是物理學，關系密切，而經濟學亦經常會用到微積分學。幾乎所有現代技術，如建築、 航空等都以微積分學作為基本數學工具。
[编辑] 微積分學課程
在高校理、工科教学中，微积分是「高等數學」的主要内容之一。其教學法由學科創立一開始就受到人們重視。
