微积分基本定理

微积分基本定理描述了微积分的两个主要运算──微分和积分之间的关系。定理的第一部分，有时称为微积分第一基本定理，表明不定积分是微分的逆运算。定理的第二部分，有时称为微积分第二基本定理，表明定积分可以用无穷多个原函数的任意一个来计算。这一部分有很多实际应用，这是因为它大大简化了定积分的计算。

该定理的一个特殊形式，首先由詹姆斯·格里高利（1638-1675）证明和出版。定理的一般形式，则由艾萨克·巴罗完成证明。

微积分基本定理表明，一个变量在一段时间之内的无穷小变化之和，等于该变量的净变化。

我们从一个例子开始。假设有一个物体在直线上运动，其位置为x(t)，其中t为时间，x(t)意味着x是t的函数。这个函数的导数等于位置的无穷小变化dx除以时间的无穷小变化dt（当然，该导数本身也与时间有关）。我们把速度定义为位置的变化除以时间的变化。用莱布尼兹记法：

$\frac{dx}{dt} = v(t).$

整理，得

$dx = v(t)\,dt.$

根据以上的推理，$x$的变化──$\Delta x$，是$dx$的无穷小变化之和。它也等于导数和时间的无穷小乘积之和。这个无穷的和，就是积分；所以，一个函数求导之后再积分，得到的就是原来的函数。我们可以合理地推断，这个运算反过来也成立，积分之后再求导，得到的也是原来的函数。

正式表述

微积分基本定理（FTC）有两个部分，第一部分是关于原函数的导数，第二部分描述了原函数和定积分之间的关系。

第一部分 第一基本定理

设$f$为定义在闭区间$[a,b]$的实函数

$F(x) = \int_a^x f(t)\, dt\,$　　$x \in [a,b]$

那麼，$F$可導，及$F'=f(x)$。

第二部分 第二基本定理

设f为定义在闭区间[a, b]的连续实数函数。设F为f的一个原函数，也就是说，它是使下式成立的无穷多个函数之一，

$f(x) = F'(x)\,.$

那么

$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,.$

推论

设f为定义在闭区间[a, b]的实数函数。设F为f的一个原函数，那么，对于区间[a, b]内的所有x，有

$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt + F(a)$

和

$f(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt\,.$

例子

计算以下积分：

$\int_2^5 x^2\, dx.$

在这里，$f(x) = x^2$，$F(x) = {x^3\over 3}$是一个原函数。因此：

$\int_2^5 x^2\, dx = F(5) - F(2) = {125 \over 3} - {8 \over 3} = {117 \over 3} = 39.$

證明

第一部分

假设有

$F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \,dt\,.$

设x₁和x₁ + Δx为区间[a, b]中的两个数。我们有

$F(x_1) = \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt$

和

$F(x_1 + \Delta x) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt\,.$

两式相减，得

$F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt. \qquad (1)$

可以证明

$\int_{a}^{x_1} f(t) \,dt + \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt.$

（两个相邻区域的面积之和，等于两个区域合并起来的面积。）

整理，得

$\int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt.$

把上式代入(1)，得

$F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt. \qquad (2)$

根据积分中值定理，在区间[x₁, x₁ + Δx]存在一个c，使得

$\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = f(c) \Delta x \,.$

把上式代入(2)，得

$F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c) \Delta x \,.$

两边除以Δx，得

$\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c).$

注意左边的表达式是F在x₁处的牛顿差商。

两边取Δx → 0的极限，

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c).$

左边的表达式是F在x₁处的导数的定义。

$F'(x_1) = \lim_{\Delta x \to 0} f(c). \qquad (3)$

我们用夹挤定理来求另一个极限。c在区间[x₁, x₁ + Δx]内，因此x₁ ≤ c ≤ x₁ + Δx。

另外$\lim_{\Delta x \to 0} x_1 = x_1$ and $\lim_{\Delta x \to 0} x_1 + \Delta x = x_1\,.$

所以，根据夹挤定理，

$\lim_{\Delta x \to 0} c = x_1\,.$

代入(3)，可得

$F'(x_1) = \lim_{c \to x_1} f(c)\,.$

函数f在c处连续，所以极限可以在函数里面进行。因此，我们有

$F'(x_1) = f(x_1) \,.$

证毕。

第二部分

设f在区间[a, b]上连续，并设F为f的原函数。我们从以下表达式开始

$F(b) - F(a)\,.$

设有数

x₀, ..., x_n

使得

$a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b\,.$

可得

$F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) \,.$

我们加上F(x_i)及其相反数，这样等式仍成立：

$\begin{matrix} F(b) - F(a) & = & F(x_n)\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots\,+\,[-F(x_1) + F(x_1)]\,-\,F(x_0) \, \\ & = & [F(x_n)\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots\,-\,F(x_1)]\,+\,[F(x_1)\,-\,F(x_0)] \,. \end{matrix}$

以上表达式可用以下的和表示：

$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F(x_i) - F(x_{i-1})]\,. \qquad (1)$

我们将使用均值定理。就是：

设F在闭区间[a, b]连续，在开区间(a, b)可导，则开区间(a, b)内一定存在c使得

$F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}\,.$

可得

$F'(c)(b - a) = F(b) - F(a). \,$

函数F在区间[a, b]可导，所以在每一个区间x_i-1也是可导和连续的。因此，根据介值定理，

$F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}) \,.$

把上式代入(1)，得

$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F'(c_i)(x_i - x_{i-1})]\,.$

根据第一部分的结论，我们有$F'(c_i) = f(c_i)$。另外，$x_i - x_{i-1}$可表示为第$i$个小区间的$\Delta x$。

$F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,. \qquad (2)$

一个黎曼和的收敛数列。右上角的数是灰色矩形的面积。它们收敛于函数的积分。

注意到我们正在描述矩形的面积（长度乘以宽度），并把这些面积相加起来。每一个矩形都描述了一部分曲线的估计。同时也注意到，$\Delta x_i$并不需要对于任何$i$都是相同的，换句话说，矩形的长度可以变化。我们要做的，是要用$n$个矩形来近似代替曲线。现在，当n增加而每一个矩形越来越小时，它的面积就越来越接近曲线的真实面积。

当矩形的宽度趋近于零时取极限，便得出黎曼积分。也就是说，我们取最宽的矩形趋于零，而矩形的数目趋于无穷大时的极限。

所以，我们把(2)式的两边取极限，得

$\lim_{\| \Delta \| \to 0} F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.$

F(b)和F(a)都不依赖于||Δ||，所以左面的极限仍然是F(b) - F(a)。

$F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.$

右边的表达式定义了f从a到b的积分。这样，我们有

$F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx\,,$

证毕。

推广

我们不需要假设 f 在整个区间是连续的。这样定理的第一部分便说明：如果 f 是区间[a, b]内的任何一个勒贝格可积的函数，x₀是[a, b]内的一个数，使得 f 在 x₀连续，则

$F(x) = \int_a^x f(t)\, dt$

在x = x₀是可导的，且F'(x₀) = f(x₀)。我们可以把f的条件进一步降低，假设它仅仅是可积的。这种情况下，我们便得出结论：F几乎处处可导，且F'(x)几乎处处等于f(x)。这有时称为勒贝格微分定理。

定理的第二部分对于任何具有原函数F的勒贝格可积函数f都是正确的（不是所有可积的函数都有原函数）。

泰勒定理中把误差项表示成一个积分的形式，可以视为微积分基本定理的一个推广。

对于复数函数，也有一个类似的形式：假设U是C的一个开集，f: U → C是一个在U处具有全纯原函数F的函数。那么对于所有曲线γ: [a, b] → U，曲线积分可以用下式来计算：

$\int_{\gamma} f(z) \,dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))\,.$

微积分基本定理可以推广到多维空间的曲线和曲面积分，也可以推广到流形。

这个方向上的一个有力的表述是斯托克斯定理：设 M 为一个可定向分段光滑n维流形，并设$\omega$为n−1阶M上的C¹类紧支撑微分形式。如果∂M表示M的边界，并以M的方向诱导的方向为边界的方向，则

$\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega\,.$

这里$\mathrm{d}\!\,$是外导数，它仅仅用流形的结构来定义。斯托克斯定理将德拉姆上同调和奇异链的同调联系起来。

參看

• 極限
• 微分
• 积分

参考文献

• Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
• Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
• Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
• Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
• Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)

外部链接

• Isaac Barrow的证明