微积分基本定理

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

微积分基本定理描述了微积分的两个主要运算──微分积分之间的关系。

定理的第一部分,有时称为微积分第一基本定理,表明不定积分是微分的逆运算。[1]這一部分定理的重要之處在於它保證了某連續函數原函數的存在性。

定理的第二部分,有时称为微积分第二基本定理,表明定积分可以用无穷多个原函数的任意一个来计算。这一部分有很多实际应用,这是因为它大大简化了定积分的计算。

该定理的一个特殊形式,首先由詹姆斯·格里高利(1638-1675)证明和出版。[2]定理的一般形式,则由艾萨克·巴罗完成证明。

微积分基本定理表明,一个变量在一段时间之内的无穷小变化之和,等于该变量的净变化。

我们从一个例子开始。假设有一个物体在直线上运动,其位置为x(t),其中t为时间,x(t)意味着xt的函数。这个函数的导数等于位置的无穷小变化dx除以时间的无穷小变化dt(当然,该导数本身也与时间有关)。我们把速度定义为位置的变化除以时间的变化。用莱布尼兹记法

\frac{dx}{dt} = v(t).

整理,得

dx = v(t)\,dt.

根据以上的推理,x的变化──\Delta x,是dx的无穷小变化之和。它也等于导数和时间的无穷小乘积之和。这个无穷的和,就是积分;所以,一个函数求导之后再积分,得到的就是原来的函数。我们可以合理地推断,这个运算反过来也成立,积分之后再求导,得到的也是原来的函数。

正式表述[编辑]

微积分基本定理(FTC)有两个部分,第一部分是关于原函数的导数,第二部分描述了原函数和定积分之间的关系。

第一部分 第一基本定理[编辑]

f为定义在闭区间[a,b]实函数

F(x) = \int_a^x f(t)\, dt\,   x \in [a,b]

那麼,F(x)可導,及F'(x)=f(x)

第二部分 第二基本定理[编辑]

f 為在闭区间 [a, b] 內连续的实函数,及设 Ff 的一个原函数:

F'(x) = f(x)\,   x \in [a,b]

那么

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,

證明[编辑]

第一部分[编辑]

假设有

F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \,dt\,.

x1x1 + Δx为区间[a, b]中的两个数。我们有

F(x_1) = \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt

F(x_1 + \Delta x) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt\,.

两式相减,得

F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt. \qquad (1)

可以证明

\int_{a}^{x_1} f(t) \,dt + \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt.
(两个相邻区域的面积之和,等于两个区域合并起来的面积。)

整理,得

\int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt.

把上式代入(1),得

F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt. \qquad (2)

根据积分中值定理,在区间[x1, x1 + Δx]存在一个c,使得

\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = f(c) \Delta x \,.

把上式代入(2),得

F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c) \Delta x \,.

两边除以Δx,得

\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c).
注意左边的表达式是Fx1处的牛顿差商

两边取Δx → 0的极限,

\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c).

左边的表达式是Fx1处的导数的定义。

F'(x_1) = \lim_{\Delta x \to 0} f(c). \qquad (3)

我们用夹挤定理来求另一个极限。c在区间[x1, x1 + Δx]内,因此x1cx1 + Δx

另外\lim_{\Delta x \to 0} x_1 = x_1 and \lim_{\Delta x \to 0} x_1 + \Delta x = x_1\,.

所以,根据夹挤定理,

\lim_{\Delta x \to 0} c = x_1\,.

代入(3),可得

F'(x_1) = \lim_{c \to x_1} f(c)\,.

函数fc处连续,所以极限可以在函数里面进行。因此,我们有

F'(x_1) = f(x_1) \,.

证毕。

第二部分[编辑]

f在区间[a, b]上连续,并设Ff的原函数。我们从以下表达式开始

F(b) - F(a)\,.

设有数

x0, ..., xn

使得

a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b\,.

可得

F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) \,.

我们加上F(xi)及其相反数,这样等式仍成立:

\begin{matrix} F(b) - F(a) & = & F(x_n)\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots\,+\,[-F(x_1) + F(x_1)]\,-\,F(x_0) \, \\
& = & [F(x_n)\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots\,-\,F(x_1)]\,+\,[F(x_1)\,-\,F(x_0)] \,. \end{matrix}

以上表达式可用以下的和表示:

F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F(x_i) - F(x_{i-1})]\,. \qquad (1)

我们将使用均值定理。就是:

F在闭区间[a, b]连续,在开区间(a, b)可导,则开区间(a, b)内一定存在c使得

F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}\,.

可得

F'(c)(b - a) = F(b) - F(a). \,

函数F在区间[a, b]可导,所以在每一个区间xi-1也是可导和连续的。因此,根据介值定理,

F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}) \,.

把上式代入(1),得

F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F'(c_i)(x_i - x_{i-1})]\,.

根据第一部分的结论,我们有F'(c_i) = f(c_i)。另外,x_i - x_{i-1}可表示为第i个小区间的\Delta x

F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,. \qquad (2)
一个黎曼和的收敛数列。右上角的数是灰色矩形的面积。它们收敛于函数的积分。

注意到我们正在描述矩形的面积(长度乘以宽度),并把这些面积相加起来。每一个矩形都描述了一部分曲线的估计。同时也注意到,\Delta x_i并不需要对于任何i都是相同的,换句话说,矩形的长度可以变化。我们要做的,是要用n个矩形来近似代替曲线。现在,当n增加而每一个矩形越来越小时,它的面积就越来越接近曲线的真实面积。

当矩形的宽度趋近于零时取极限,便得出黎曼积分。也就是说,我们取最宽的矩形趋于零,而矩形的数目趋于无穷大时的极限。

所以,我们把(2)式的两边取极限,得

\lim_{\| \Delta \| \to 0} F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.

F(b)和F(a)都不依赖于||Δ||,所以左面的极限仍然是F(b) - F(a)。

F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.

右边的表达式定义了fab的积分。这样,我们有

F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx\,,

证毕。

推论[编辑]

f为定义在闭区间[a, b]的实数函数。设Ff的一个原函数,那么,对于区间[a, b]内的所有x,有

F(x) = \int_a^x f(t)\,dt + F(a)

f(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt\,.

例子[编辑]


\begin{align}
\frac{d}{dx} \int_a^{\sin x} e^t\, dt \\
&= \frac{d}{dx} F(\sin x) \\
&= F'(\sin x) \cos x\\
&= e^{\sin x} \cos x\\
\end{align}


计算以下积分:

\int_2^5 x^2\, dx.

在这里,f(x) = x^2F(x) = {x^3\over 3} 是一个原函数。因此:

\int_2^5 x^2\, dx = F(5) - F(2) = {125 \over 3} - {8 \over 3} = {117 \over 3} = 39

推广[编辑]

我们不需要假设 f 在整个区间是连续的。这样定理的第一部分便说明:如果 f 是区间[a, b]内的任何一个勒贝格可积的函数,x0是[a, b]内的一个数,使得 fx0连续,则

F(x) = \int_a^x f(t)\, dt

x = x0是可导的,且F'(x0) = f(x0)。我们可以把f的条件进一步降低,假设它仅仅是可积的。这种情况下,我们便得出结论:F几乎处处可导,且F'(x)几乎处处等于f(x)。这有时称为勒贝格微分定理

定理的第二部分对于任何具有原函数F的勒贝格可积函数f都是正确的(不是所有可积的函数都有原函数)。

泰勒定理中把误差项表示成一个积分的形式,可以视为微积分基本定理的一个推广。

对于复数函数,也有一个类似的形式:假设UC的一个开集,f: UC是一个在U处具有全纯原函数F的函数。那么对于所有曲线γ: [a, b] → U曲线积分可以用下式来计算:

\int_{\gamma} f(z) \,dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))\,.

微积分基本定理可以推广到多维空间的曲线和曲面积分,也可以推广到流形

这个方向上的一个有力的表述是斯托克斯定理:设 M 为一个可定向分段光滑n维流形,并设\omegan−1阶M上的C1紧支撑微分形式。如果∂M表示M边界,并以M的方向诱导的方向为边界的方向,则

\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega\,.

这里\mathrm{d}\!\,外导数,它仅仅用流形的结构来定义。斯托克斯定理将德拉姆上同调和奇异链的同调联系起来。

參看[编辑]

注解[编辑]

  1. ^ 更加确切地,该定理涉及了可变上限和任意选择的下限的定积分。这类特殊的定积分允许我们计算函数的无穷多个原函数之一(除了那些没有零点的原函数)因此,它几乎跟不定积分是等价的,大部分作者把它定义为产生任何一个可能的原函数的运算,包括没有零点的原函数。
  2. ^ See, e.g., Marlow Anderson, Victor J. Katz, Robin J. Wilson, Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History, Mathematical Association of America, 2004, p. 114.

参考文献[编辑]

  • Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
  • Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
  • Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
  • Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
  • Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939)

外部链接[编辑]