德布尔算法

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数学的子领域数值分析中,De Boor算法是快速而且数值上稳定算法,用于计算B样条形式的样条曲线。这是用于貝茲曲線de Casteljau算法的一个推广。

概述[编辑]

一般的情况如下。我们要构造一个穿过一系列p个点\vec{d}_0, \vec{d}_1, \dots, \vec{d}_{p-1}的曲线。曲线可以描述为一个参数x的函数。要穿过点的序列,曲线必须满足\vec{s}(u_0)=\vec{d}_0, \dots,
\vec{s}(u_{p-1})=\vec{d}_{p-1}。我们假设u0, ..., up-1\vec{d}_0, \vec{d}_1, \dots, \vec{d}_{p-1}一起给定。这个问题称为插值

解决这个问题的一个方法是用样条。样条是一个分段nth阶多项式的曲线。这表示在任意区间[ui, ui+1)上,曲线必须等于次数最多n的多项式。它在不同的区间上可以是不同的多项式。多项式必须同步:当区间[ui-1, ui)[ui, ui+1)上的多项式在点ui上相遇,它们必须有同样的值,而且他们的导数必须相等(以保证曲线是光滑的)。


De Boor算法是一个算法,当给定u0, ..., up-1\vec{d}_0, \vec{d}_1, \dots, \vec{d}_{p-1}时,它能找到样条曲线\vec{s}(x)在点x的值。它采用O(n2)次操作。注意算法的运行时间依赖于多项式的次数n,而不是点的个数p

算法概要[编辑]

假设我们要计算参数值为 x \in [u_{\ell},u_{\ell+1}) 的样条曲线的值。我们可以将曲线表示为

 \vec{s}(x) = \sum_{i=0}^{p-1} \vec{d}_i N_i^n(x), N_i^0(x)=\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if }x \in [u_{\ell},u_{\ell+1}) \\ 0, & \mbox{... } \end{matrix}\right.

其中Nin(x)是x的多项式其参数依赖于u0, ..., un但和\vec{d}_i无关。

因为样条的局域性,

 \vec{s}(x) = \sum_{i=\ell-n}^{\ell} \vec{d}_i N_i^n(x)

所以值\vec{s}(x) 由控制点 \vec{d}_{\ell-n},\vec{d}_{\ell-n+1},\dots,\vec{d}_{\ell} 决定;其他控制点\vec{d}_i没有影响。下一节所述的De Boor算法是一个有效计算 \vec{s}(x) 表达式的程序。

算法[编辑]

假设  x \in [u_{\ell},u_{\ell+1})  \vec{d}_i^{[0]} = \vec{d}_i 对于 i = l-n, ..., l. 现在计算

 \vec{d}_i^{[k]} = (1-\alpha_{k,i}) \vec{d}_{i-1}^{[k-1]} + \alpha_{k,i} \vec{d}_i^{[k-1]}; \qquad k=1,\dots,n; \quad i=\ell-n+k,\dots,\ell

其中

 \alpha_{k,i} = \frac{x-u_i}{u_{i+n+1-k}-u_i}.

 \vec{s}(x) = \vec{d}_{\ell}^{[n]} .