德林費爾德模

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數學領域,德林費爾德模橢圓模是一種特別的,佈於有限域上的代數曲線的坐標環上。粗略地說,德林費爾德模是複橢圓曲線複乘法理論之函數域版本。

俄文單詞 штука(英語拼音:shtukachtouca,源於德文Stück,意指物件或東西),又稱F-層,是德林費爾德模的一種延伸,由曲線上的向量叢和其它關乎弗羅貝尼烏斯映射的資料組成。

弗拉基米爾·德林費爾德在1973年發明了德林費爾德模,隨後推廣到 штука,以證明函數域上的 \mathrm{GL}(2) 郎蘭茲猜想洛朗·拉福格藉由研究 n秩 штука的模疊跡公式,在2002年證出 \mathrm{GL}(n) 的情形。

德林費爾德模[编辑]

加性多項式環[编辑]

L 為特徵 p>0 的域。定義其上的非交換多項式環 L\{\tau\}

a0 + a1τ + a2τ2 + ...

乘法由下述條件確定

\tau a = a^p \tau

元素 \tau 可設想為弗羅貝尼烏斯映射。事實上,L 是左 L\{\tau\}-模,其中 L 以乘法作用而 \taua \mapsto a^p 映射。環 L\{\tau\} 也可以看作是如下多項式的集合

a_0 X^1 + a_1 X^p + a_2 X^{p^2} + \cdots = a_0\tau^0 + a_1\tau + a_2\tau^2 + \cdots \in L[X]

這類多項式滿足 f(X+Y)=f(X)+f(Y) \in L[X,Y],故稱加性多項式;此環的乘法由多項式的合成給出,而非乘法,故非交換。

形式定義[编辑]

今設 A 為交換環,L 上的 德林費爾德 A-模定義為環同態 \psi: A \to L\{\tau\},使得 \psi(A) 不包含於 L;此條件意在排除一些平凡例子。環 A 通常取作某條有限域上的仿射曲線的坐標環。

L\{\tau\} 可視為加法群 (L,+) 的自同態,而德林費爾德 A-模可視為 A(L,+) 上的作用。

例子[编辑]

  • A := \mathbb{F}_p[T],對應到虧格為一的仿射代數曲線。德林費爾德模 \psi: A \to L\{\tau\} 僅依賴於像 \psi(T) \in L\{\tau\} \setminus L。此時德林費爾德模可等同於 L\{\tau\} \setminus L。對於虧格更高的曲線,德林費爾德模會更複雜。
  • 承上,Carlitz 模是由 \psi(T)=T+\tauL 為含 \mathbb{F}_p 的完備代數封閉域給出的德林費爾德模。此模首先由 Leonard Carlitz 在1935年展開研究,詳見Goss 的著作第三章

штука[编辑]

X 是有限域 \mathbb{F}_p 上的代數曲線。對概形或疊 U,其上的秩 r (右)штука 由下列資料定義:

  • U \times X 上的秩 r 局部自由 E, E' 及單射
E \rightarrow E' \leftarrow (\mathrm{Fr}^* \times 1)^* E

其餘核的支撐集包括於某態射 U \to X 的圖(稱為該 штука 的零點與極點,記為 0\infty),且在支撐集上是秩 1 局部自由層。在此 \mathrm{Fr}U 上的弗羅貝尼烏斯態射。

左 штука 的定義類似,但態射的方向反轉;若極點與零點集互斥,則實際上無分左右。

粗略而言,考慮不同的 U,可得代數疊 \mathrm{Sht}^r\mathrm{Sht}^r \times X 上的「萬有 штука」,並有相對維度 $2$ 的平滑態射 (\infty,0): \mathrm{Sht}^r \to X \times X。注意到當 r > 1 時,疊 \mathrm{Sht}^r 並非有限型的。

德林費爾德模可在某種意義下視作特別的 штука(自定義觀之,這絕非明顯),詳見 Drinfel'd, V. G. Commutative subrings of certain noncommutative rings. Funkcional. Anal. i Prilovzen. 11 (1977), no. 1, 11--14, 96. 。

應用[编辑]

簡言之,函數域上的郎蘭茲猜想是關於 \mathrm{GL}(n) 的尖點自守表示及某個伽羅瓦群的表示之間的對應。德林費爾德利用 штука 證明n=2的情形。此猜想的難處在於構造滿足特定性質的伽羅瓦表示,德林費爾德的高處在於從某個秩 2 штука 的模空間\ell-進上同調入手,找出相應的伽羅瓦表示。

德林費爾德認為此法可延伸至 n \geq 2 的情形。拉福格最後克服了其中的大量技術困難,完成證明。

文獻[编辑]

德林費爾德模[编辑]

  • V. Drinfel'd, Elliptic modules (Russian) Math. Sbornik 94 (1974), English translation in Math. USSR Sbornik 23 (1974) 561-592.
  • D. Goss, Basic structures of function field arithmetic, ISBN 3-540-63541-6
  • Drinfel'd module in the Springer encyclopaedia of mathematics
  • G. Laumon, Cohomology of Drinfeld modular varieties I, II, Cambridge university press 1996

штука[编辑]

  • Drinfel'd, V. G. Cohomology of compactified moduli varieties of F-sheaves of rank 2. (Russian) Zap. Nauchn. Sem. Leningrad. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (LOMI) 162 (1987), Avtomorfn. Funkts. i Teor. Chisel. III, 107--158, 189; translation in J. Soviet Math. 46 (1989), no. 2, 1789-1821
  • Drinfel'd, V. G. Moduli varieties of F-sheaves. (Russian) Funktsional. Anal. i Prilozhen. 21 (1987), no. 2, 23--41. English translation: Functional Anal. Appl. 21 (1987), no. 2, 107-122.
  • D. Goss, What is a shtuka? Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 50 No. 1 (2003)

拉福格在郎蘭茲猜想方面的工作[编辑]