心脏线

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心脏线
一个圆滚动产生的心脏线
使用圆和切线生成一个心脏线

心脏线是有一个尖点外摆线。也就是说,一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时,圆上一点的轨迹就是心脏线。

曼德博集合中间的图形是心脏线。

方程[编辑]

笛卡儿坐标系中,心脏线的参数方程为:

 x(t) = 2r \left( \cos t - {1 \over 2} \cos 2 t \right),
 y(t) = 2r \left( \sin t - {1 \over 2} \sin 2 t \right)

其中r是圆的半径。曲线的尖点位于(r,0)。

在极坐标系中的方程为:

 \rho(\theta) = 2r(1 - \cos \theta). \

图像[编辑]

CardioidsLabeled.PNG 这是四个朝着不同方向的心脏线。

面积[编辑]

方程为

 \rho(\theta) = a(1 - \cos \theta)

的心脏线的面积为:

 A = {3\over 2} \pi a^2

轶事[编辑]

传闻,法国著名数学家笛卡尔曾经流落到瑞典,邂逅瑞典公主克里斯蒂娜Kristina),并成为了公主的数学老师。两人萌生爱意。国王知道后,强行拆散他们,并且没收了之后笛卡尔写给公主的所有信件。后来,笛卡尔染上黑死病,临死前给公主寄去了最后一封信,信中只写着一行字:r=a(1-sinθ)。国王和大臣们都看不懂这是什么意思,只好交还给公主。公主在纸上建立了极坐标系,用笔在上面描下方程的点,看到了方程所表示的心脏线,理解了笛卡尔对自己的深深爱意。[1]

历史上,笛卡尔和克里斯蒂娜的确有过交情。但笛卡尔是1649年10月4日应克里斯蒂娜邀请才来到瑞典,而当时克里斯蒂娜已成为了瑞典女王。笛卡尔与克里斯蒂娜谈论的主要是哲学问题而不是数学。有资料记载,由于克里斯蒂娜女王时间安排很紧,笛卡尔只能在早晨五点与她探讨哲学。笛卡尔真正的死因是因天气寒冷加上过度操劳患上的肺炎,而不是黑死病。[1]

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 七夕特献:数学家们的爱情故事. 2011-08-06 [2014-02-16].