心脏线

心脏线

心脏线是有一个尖点的外摆线。也就是说，一个圆沿着另一个半径相同的圆滚动时，圆上一点的轨迹就是心脏线。

曼德博集合中间的图形是心脏线。

方程

在笛卡儿坐标系中，心脏线的参数方程为：

$x(t) = 2r \left( \cos t - {1 \over 2} \cos 2 t \right),$

$y(t) = 2r \left( \sin t - {1 \over 2} \sin 2 t \right)$

其中r是圆的半径。曲线的尖点位于（r，0）。

在极坐标系中的方程为：

$\rho(\theta) = 2r(1 - \cos \theta). \$

图像

这是四个朝着不同方向的心脏线。

面积

方程为

$\rho(\theta) = a(1 - \cos \theta)$

的心脏线的面积为：

$A = {3\over 2} \pi a^2$。

轶事

传闻，法国著名数学家笛卡尔曾经流落到瑞典，邂逅瑞典公主克里斯蒂娜（Kristina），并成为了公主的数学老师。两人萌生爱意。国王知道后，强行拆散他们，并且没收了之后笛卡尔写给公主的所有信件。后来，笛卡尔染上黑死病，临死前给公主寄去了最后一封信，信中只写着一行字：r=a(1-sinθ)。国王和大臣们都看不懂这是什么意思，只好交还给公主。公主在纸上建立了极坐标系，用笔在上面描下方程的点，看到了方程所表示的心脏线，理解了笛卡尔对自己的深深爱意。

在历史上，笛卡尔和克里斯蒂娜的确有过交情。但笛卡尔是 1649 年 10 月 4 日应克里斯蒂娜邀请才来到瑞典，而当时克里斯蒂娜已成为了瑞典女王。笛卡尔与克里斯蒂娜谈论的主要是哲学问题而不是数学。有资料记载，由于克里斯蒂娜女王时间安排很紧，笛卡尔只能在早晨五点与她探讨哲学。笛卡尔真正的死因是因天气寒冷加上过度操劳患上的肺炎，而不是黑死病。

参见

• 外摆线

参考文献

• cut-the-knot
• Xah Lee, Cardioid (1998)
• Jan Wassenaar, Cardioid, (2005)
• 果壳网，《七夕特献：数学家们的爱情故事》, [1]